ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

since 2008/03/25

旧数学掲示板のログ

使用上の注意はこちらにあります

質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。

過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

★ (No Subject) / 晴れ

引用

ある生徒50名のクラスでは物理化学生物の3教科の選択授業が行われておりこのクラスの全生徒はこれらの科目のうち1科目以上の科目を履修する必要がある。次のことが分かっているとき科学と生物の2科目のみを履修する者の最大の人数は?

〇このクラスの生徒50名の履修する科目数を調べたところ1科目のみを履修するものは10名2科目のみ履修するものは40名であった

〇このクラスの生徒50名の履修する科目を調べたところ物理を履修するものは41名科学を履修するものは34名生物を履修するものは13名であった

No.88058 - 2024/05/14(Tue) 14:45:40

☆ Re: / ヨッシー

引用

「科学」は「化学」のことですよね？
だとすると、問題の設定がおかしいです。

１つ目の条件から、３科目履修者は０であることがわかります。
一方、２つ目の条件から
　41＋34＋13＝88
　88－50＝38　・・・２科目履修者
で、１つ目の条件と矛盾します。

No.88059 - 2024/05/14(Tue) 15:26:30

☆ Re: NEW / 晴れ

引用

(誤)生物を履修するものは13名
→(正)生物を履修するものは15名

No.88067 - 2024/05/16(Thu) 13:14:05

☆ Re: NEW / ヨッシー

引用

化学履修者は34名なので、これらが全員2科目履修者とすると
物理と生物の両方履修しているものは6名であり、これより
少なくはなりません。

物理＋生物　6名　のとき
化学＋生物　は最大9名となり、このとき
物理＋化学　は25名で
物理のみ　10名
化学のみ　0名
生物のみ　0名
とすれば、実現できるので、化学＋生物の最大は９名です。

No.88068 - 2024/05/16(Thu) 15:52:27

★ (No Subject) / マコーレーカルキソ

引用

logの最小値の問題です。

関数y=log1/3x + log1/3(6-x)　の最小値を求めよ。
（答え：yはx=3で最小値 -2 をとる）

という問題で、解説についての質問です。
解説では、真数条件による範囲設定が書かれた後、
y=log1/3(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)
というグラフのための平方完成式を書いていました。
この場合、関数の前半のlog1/3xはなぜ一緒に計算しなくて良いのでしょうか。
ここが気になり、後の計算もなぜそうなるのか分からなかったので、合わせて全体を解説していただきたいです。お願いします！

No.88053 - 2024/05/12(Sun) 23:30:04

☆ Re: / X

引用

解説の誤植ですね。
＞＞log1/3x
を含めて計算していないと
＞＞=log1/3(-(x-3)^2+9)
の形にはなりません。

No.88054 - 2024/05/13(Mon) 06:39:15

☆ Re: / らすかる

引用

もしかして、
y=log1/3(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)
はよく見ると
y=log1/3x(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)
になってたりしませんか？
なってなければ、誤植ですね。

No.88055 - 2024/05/13(Mon) 07:33:28

☆ Re: / マコーレーカルキソ

引用

今よく見てみたら
y=log1/3x(6-x)=log1/3(-(x-3)^2+9)

この形になっていたので、自分の見落としだったことに気づきました！
ご指摘ありがとうございました。

ただ、その後に
底1/3は1より小さいから、この時yは最小で、最小値はlog1/3 (9)
と書かれていました。

この時、なぜ最小値はlog1/3 (9)という形で表すことができるのでしょうか。

No.88056 - 2024/05/13(Mon) 14:01:46

☆ Re: / らすかる

引用

底1/3は1より小さいからlog[1/3]○のグラフは単調減少
（すなわち○が大きいほどlog[1/3]○の値は小さい）
-(x-3)^2+9はx=3のとき最大値9をとるから
log[1/3](-(x-3)^2+9)はx=3のとき最小値log[1/3]9をとる

No.88057 - 2024/05/13(Mon) 17:57:45

★ z=xy，のときz0-z1=x0-x1+y0-y1は成り立つのか / 文系大学生

引用

Z＝xyが成り立ちます。ポンド/円＝ポンド/ドル×ドル/円です。２００＝１００＊２のようなレートが存在します。
しかし損益は投資を始めた時点を０とし、回収の時点を１とすると、ｚつまりポンド円はｚ０ーｚ１ですが、
右辺は（ｘ０－ｘ１）＋（ｙ０－ｙ１）が損益になります。
たとえば昨日のポンド円が２００円、で今日が１９９円なら１円の損となります。ここで右辺の取引で１円のプラスを出すにはどうすればいいのでしょうか。つまりｚとｘｙで利益を相殺したいです。関係性積であらわされ、損益は和であらわされることに動揺しています。お願いします！

No.88051 - 2024/05/12(Sun) 05:43:21

☆ Re: z=xy，のときz0-z1=x0-x1+y0-y1は成り立つのか / ヨッシー

引用

>右辺は（ｘ０－ｘ１）＋（ｙ０－ｙ１）が損益になります。
これが違うと思います。
　Z0＝200, Z1＝199 になるように
　X0＝2, Y0＝100, X1＝2, Y1＝99.5
とすると、
　(X0－X1)＋(Y0－Y1)＝0.5
となり、1 とはなりません。
　X0＝10, Y0＝20, X1＝10, Y1＝19.9
だと、0.1 であり、さらにかけ離れます。

単純に
　Z0－Z1＝X0Y0－X1Y1
であるだけです。

No.88052 - 2024/05/12(Sun) 16:25:50

★ (No Subject) / 有栖川

引用

f(x) = e^(-x^2)が複接線（f(x)上にある二点以上と接する接線）をもたないことを示せ。

この問題の解説をお願いします。

No.88049 - 2024/05/11(Sat) 22:12:18

☆ Re: / らすかる

引用

f'(x)=-2xe^(-x^2)から
x＜0で接するときの接線の傾きは正
x＝0で接するときの接線の傾きは0
x＞0で接するときの接線の傾きは負
よってx＞0とx＜0の両方で同時に接することはなく、
またx＝0での接線も1点でしか接しないので、
x＞0の範囲で複接線をもたないことを示せば十分。
f''(x)=2(2x^2-1)e^(-x^2)から、f(x)は
0＜x＜1/√2で上に凸
x＝1/√2が変曲点
1/√2＜xで下に凸
よって
0＜x＜1/√2の範囲での接線は変曲点(1/√2,e^(-1/2))よりも上を通り、
1/√2＜xの範囲での接線は変曲点(1/√2,e^(-1/2))よりも下を通るから、
0＜x＜1/√2の範囲と1/√2＜xの範囲の接線が一致することはない。
またx＝1/√2で接する接線は他の点の接線にならず、
0＜x＜1/√2の範囲内や1/√2＜xの範囲内で複数の点で接することもないから、
0＜xの範囲で複数の点で同時に接することはない。
従って複接線は存在しない。

No.88050 - 2024/05/12(Sun) 02:46:23

☆ Re: / 有栖川

引用

返信ありがとうございます！

>> 0＜x＜1/√2の範囲内や1/√2＜xの範囲内で複数の点で接することもないから、

この部分ですが、x>0で単調減少するので自明として良いということでしょうか？

No.88060 - 2024/05/14(Tue) 23:15:11

☆ Re: / らすかる

引用

「単調減少」では複数の点で接しないことにはなりません。
0＜x＜1/√2の範囲内で複数の点で接しないのは
「0＜x＜1/√2の範囲で上に凸」だからであり、
1/√2＜xの範囲内で複数の点で接しないのは
「1/√2＜xの範囲で下に凸」だからです。
単調増加や単調減少はあまり関係ありません。
例えばy=sinxの0＜x＜πでは単調増加でも単調減少でもありませんが、
「上に凸」なのでこの範囲内の複数の点で1本の直線が接することはありません。
また単調減少でもy=sinx-2xのようなグラフであれば複数の点で接する接線が引けます。

No.88063 - 2024/05/15(Wed) 01:15:25

☆ Re: / 有栖川

引用

ありがとうございます。たしかに変曲点に注目すれば良いんですね。勉強になりました！

No.88066 - 2024/05/16(Thu) 08:32:02

★ (No Subject) / テントウムシ

引用

0≦θ≦2πを満たす実数θに対してxyz空間内の点PとQを
P(cosθ,sinθ,1/2),Q(2cosθ+sinθ，2sinθ-cosθ,3/2)と定め条件（A）直線PQとzx平面が1つの点だけで交わる
を考える

(1)条件Aが成り立つようなθの値の範囲は?

点P，Qのそれぞれのy成分(sinθ，2sinθ-cosθ)が
sinθ＞0かつ2sinθ-cosθ<0
または
sinθ＜0かつ2sinθ-cos>0
を満たす時点P，Ｑのx座標の正負に関わらず直線PQはxz平面と一点に交わる。
よってsinθ・(2sinθ-cosθ)＜0

…答え全然合わない…何がいけないんでしょうか。解答解説よろしくお願いします

No.88043 - 2024/05/11(Sat) 15:16:56

☆ Re: / 黄桃

引用

>直線PQ
とはP,Qを通る無限に長い直線。
（PQをPの側にもQの側にも無限に延ばす）

線分PQがzx平面と１つの点だけで交わる条件、とは全く違います。

No.88046 - 2024/05/11(Sat) 17:18:47

★ 立体を直線上に射影？？ / 高校３年生

引用

ある古い問題集（年の離れた兄が塾で配布されたもの）において、「立方体Vをxy平面に正射影して得られる影の面積をS、z軸に正射影して得られる影の長さをhとする」という文言があります。
この文言のうち、後半の「z軸に正射影して得られる影の長さをhとする」という部分について、解釈ができません。
立体を直線上に射影するとはどのようなことを言っているのでしょうか。
ちなみに、問題集ですが、答えのみで解説はついていません。

No.88037 - 2024/05/10(Fri) 20:57:20

☆ Re: 立体を直線上に射影？？ / IT

引用

正射影:
ある図形上の各点から、直線または平面上に下ろした垂線の足の集まり。となってます。

立方体Vのある点P(x,y,z) をz軸に正射影するとQ(0,0,z) になりますね。

No.88038 - 2024/05/10(Fri) 21:37:42

☆ Re: 立体を直線上に射影？？ / 高校３年生

引用

なるほど。
ありがとうございました。
各点を飛ばすのですね。
初めての文言で意味が分かりませんでした。
どうもありがとうございました。

No.88039 - 2024/05/10(Fri) 21:44:06

★ (No Subject) / 有栖川

引用

sin x + 3sin y = 1
を満たしながら実数x, yが動くとき、

z = cos x + 3cos y
のとりうる範囲を求めよ。

この問題の解説をお願いします。

No.88033 - 2024/05/10(Fri) 17:11:25

☆ Re: / Purple Sky

引用

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12297794132
↑ここに解説がありました。

No.88036 - 2024/05/10(Fri) 19:41:44

☆ Re: / 有栖川

引用

これって最後どちらの方が正しいんですか？
αは定数？

No.88040 - 2024/05/10(Fri) 23:20:50

☆ Re: / X

引用

横から失礼します。

＞＞これって最後どちらの方が正しいんですか？
√3≦a≦√15又は-√15≦a≦-√3
が答えです。
どちらか一方のみが正しいわけではありません。

＞＞αは定数？
三角関数の合成の際にαに対し
cosα=1/√(1+a^2)
sinα=a/√(1+a^2)
という条件が付きますので、
αはaの関数となります。
但し、計算途中で
|sin(x+α)|≦1
の条件を使ってαは消去されますので
ご質問の点を気にする必要はないと
思います。

No.88047 - 2024/05/11(Sat) 18:14:33

☆ Re: / 有栖川

引用

ありがとうございます！理解できました

No.88048 - 2024/05/11(Sat) 19:37:00

★ (No Subject) / 晴れ

引用

点A(1.0)を通る直線は円C X2+Y2＝4と異なる2点で交わる。C上の点Pに対してAを通る直線とCとの交点でPとは異なるものをQとする。PがC上を動く時線分PQの中点Mの軌跡はどのように表すことが出来るか。解答解説よろしくお願いします

No.88032 - 2024/05/10(Fri) 15:05:30

☆ Re: / 黄桃

引用

あまり気は利かないけど誰でもできそうな解法を示します。

(1,0)を通る直線は、
(1) y軸に平行な直線 x=1
(2) 傾きtの直線 y=t(x-1)
に分けられます。
(1)の場合、Pは2点(1,±√3)のいずれかで、Qは(1,干√3)（複号同順）だから、いずれの場合も中点Mは(1,0)

(2)の場合、Pは y=t(x-1)とx^2+y^2=4 との交点だから、
交点のx座標は、連立して
(t^2+1)x^2-2t^2x+t^2-4=0
の解になります。Pでない方の交点がQだから、
P(px,py), Q(qx,qy)
とおけば、解と係数の関係から
px+qx=2t^2/(t^2+1) ...(3)
px*qx=(t^2-4)/(t^2+1)
です。
P,Qの中点Mの座標を(X,Y)とすれば、P,Qのx座標がどちらであっても、
X=(px+qx)/2
Y=(py+qy)/2=(t(px-1)+t(qy-1))/2=t(px+qy-2)/2
ですから、(3)を代入して整理すれば
X=t^2/(t^2+1)...(4)
Y=-t/(t^2+1) ...(5)
となります。
(4)より、0≦X<1 ...(6)
であり、したがって(X≠1だから)(4)より
t^2=X/(1-X)
t=±√(X/(1-X))...(7)
となります。
これを(5)に代入して整理すれば
Y=±√(X(1-X)) (ただし、X≠1)
となります。これより、X≠1の下で、
Y^2=X(1-X), つまり、
X^2-X+Y^2=0
(X-1/2)^2+Y^2=1/4 ...(8)
となります。
(X≠1の下で(7)によりtを決めれば(8)から順に上にたどっていって(4),(5)も言えるので)
以上から、
(2)の場合のMの軌跡は、(8)のうち、X=1の部分、つまり(1,0)を除いた部分です。
(1)の場合のMは(1,0)でしたから、両者を合わせて
Mの軌跡は中心が(1/2,0),半径1/2の円周上の点全体({(x,y)| (x-1/2)^2+y^2=1/4})である...答

No.88045 - 2024/05/11(Sat) 17:14:10

★ (No Subject) / バナナ

引用

方程式x2+x+1=0の解のひとつをωで表す。この時1の3乗根のうち1でないものは?

x=3√1(←1の3乗根)
x3=1
x3-1=0
(x-1)(x2+x+1)=0
x=1,ω,ωの共役複素数(ωの上に横棒引いたもの)

(ω=(-1+√3i)/2or(-1-√3i)/2}

解答の選択肢
?@ω，ω+1, ?Aω，ω-1　?Bω，-ω+1, ?Cω，-ω-1
?Dω，-ω　?E-ω，ω+1 ?F-ω，ω-1　?G-ω，-ω+1
?H-ω，-ω-1 ?Iω+1, ω-1
らしいですが…
これって虚数のところの符号のところだけ違うからωに実数加えてもなんも問題解決しないしかといってω×-1してもωが＜純虚数＞なら確かに-ωはωの共役複素数っていえるけど…ωって純虚数じゃないから無理じゃない?答えどれなのでしょうか。解答解説よろしくお願いします。

No.88028 - 2024/05/10(Fri) 02:02:31

☆ Re: / らすかる

引用

答えはωとω^2ですよね。
そしてωはx^2+x+1=0の解なので
ω^2+ω+1=0
∴ω^2=-ω-1
よって1の虚数3乗根はωと-ω-1です。

No.88029 - 2024/05/10(Fri) 04:29:41

★ (No Subject) / 上田

引用

数学三の問題です。
この問題で陰関数を求めるとはどういうことですか？
この形は既に陰関数ではないのですか？

No.88023 - 2024/05/09(Thu) 15:27:09

☆ Re: / IT

引用

> この形は既に陰関数ではないのですか？
だと思いますが、解答はどうなっていますか？
（例題）とあるので解答があるのでは？

No.88025 - 2024/05/09(Thu) 17:20:34

☆ Re: / 上田

引用

この上に陰関数の定義が載ってるだけで解答は今ないです。

定義
xの関数yが，xとyの関係式F(x,y) = 0 で与えられているとき，y は x の F (x, y) = 0 によって定まる陰関数という。

自分は今までf(x,y)の形のことが陰関数だと思ってたんですが、定義をよく読むとf(x,y)のyのことを陰関数というんですか？なんか混乱してきました。

No.88026 - 2024/05/09(Thu) 20:28:57

☆ Re: / 上田

引用

つまり、y＝f(x)の形に直すのが陰関数を求めるということですか？それならば陽関数と何が違うのかがわかりません。

No.88027 - 2024/05/09(Thu) 20:38:15

☆ Re: / IT

引用

大学１年生向けの教科書「微分積分学（笠原こうじ著）サイエンス社」では、
２変数の関数F(x,y)がある領域（⊆R^2）上で与えられたとき、
F(x,f(x))=0を満たす関数f(x)が存在するかという問題を考える。
・・・
F(x,f(x))=0を満たす関数f(x)のうち、一定の条件を満たすものを「F(x,y)＝0の陰関数」と呼んでいます。

No.88041 - 2024/05/11(Sat) 10:30:29

☆ Re: / IT

引用

「一定の条件を満たすもの」を詳しく書くと大変なので、簡単に説明すると、

例えば、F(x,y)=x-y^2 について
f(x)=√x (xが0以上の有理数のとき）
f(x)=-√x (xが0以上の無理数のとき）とすると
F(x,f(x))=0を満たしますが、性質が良くないので除くということですね

No.88042 - 2024/05/11(Sat) 10:37:11

☆ Re: / 黄桃

引用

この例題は確かに用語が変で、おそらく、
次の陰関数(次の方程式から決まるxの関数y)を陽関数で表しなさい、
といいたかったのでしょう。

陰関数とは、
方程式 F(x,y)=0 で定まるxの関数y
のことです。
この例題であれば、xの値を決めるとyの2次方程式になるので対応するyが2つ決まります。
このように、どういう対応かは明示してないけど、とにかくxを決めるとyが決まるから（大昔は多価関数として考える流儀もありましたので）陰関数と呼びます。

現代では1つに決まらないと関数とはいえないので、xに応じて決まるyのうちの1つのy0を決めると、その(x,y0)の近くでyは１つに決まる（ITさんの書く「一定の条件」を満たす；2次方程式の解なら±の符号を決めると1つに決まる）場合に、陰関数と呼んでいます。

No.88044 - 2024/05/11(Sat) 16:01:27

★ (No Subject) / あ

引用

対数の四則演算についての質問です

例えばlog2 √３＋log2 √３＝log2 3

などと計算しますが、

log2 √３やlog2 3の具体的な値が分からないのに計算していいのは、これは対数の計算ルール的にそうなるから、みたいに考えてしまっていいんですか？

log2 8などを使った計算だともちろんあっているのは分かるんですが、こういう（おそらく自分的には）はっきりしない計算に毎度困惑してしまいます

皆様は慣れたので普通に使ってらっしゃるんでしょうか
それとも毎回何か確かな確信を持てるようなものがあるんでしょうか

No.88021 - 2024/05/09(Thu) 14:43:31

☆ Re: / ヨッシー

引用

>対数の計算ルール的にそうなるから
と考えれば計算が進むのならそれが良いです。

たとえば、1/7＋6/7＝7/7＝1 を計算するのに、
　1/7 は、0.142857142857・・・
　6/7 は、0.857142857142・・・
なので、足すと、0.9999999999・・・これが無限に続くので、１に等しい。
と考える人は少ないでしょう（人の心の話なのでゼロとは言えませんが）
それでも最初は、１つの棒を７等分したようなものと、それを６つつないだようなものをイメージして、計算したでしょうが、
最後は、「分母が同じなら、分子だけ足せば良い」という計算ルールに落ち着きます。
そして、それを懐疑的に行うこともないでしょう。

ルールが普遍的（例外なく成り立つ）であれば、疑う余地はありません。
疑念の余地があるということは、ルール（公式）が成り立っている背景を理解せずに、結果だけ覚えているからではないでしょうか？

たとえば、
　ａ^m×ａ^n＝ａ^(m+n)
という指数公式に対し、
　Ｍ＝ａ^m、Ｎ＝ａ^n
とすると、
　ｍ＝log[a]Ｍ、ｎ＝log[a]Ｎ
であり、
　ＭＮ＝ａ^(log[a]Ｍ＋log[a]Ｎ)
対数を取ると、
　log[a]ＭＮ＝log[a]Ｍ＋log[a]Ｎ
という裏付けがあれば、疑う余地はありません。

No.88022 - 2024/05/09(Thu) 15:08:50

☆ Re: / あ

引用

たとえば、
　ａ^m×ａ^n＝ａ^(m+n)
という指数公式に対し、
　Ｍ＝ａ^m、Ｎ＝ａ^n
とすると、
　ｍ＝log[a]Ｍ、ｎ＝log[a]Ｎ
であり、
　ＭＮ＝ａ^(log[a]Ｍ＋log[a]Ｎ)
対数を取ると、
　log[a]ＭＮ＝log[a]Ｍ＋log[a]Ｎ
という裏付けがあれば、疑う余地はありません。

やはり拠り所はそこでしたか

またまた本当にありがとうございます

No.88024 - 2024/05/09(Thu) 15:45:08

★ 確率 / Nick

引用

私の解答を確認していただきたいです。

No.88003 - 2024/05/06(Mon) 12:54:31

☆ Re: 確率 / Nick

引用

解答です

No.88004 - 2024/05/06(Mon) 12:54:53

☆ Re: 確率 / X

引用

(1)は問題ありません。
(2)
２枚とも表となる確率と２枚とも裏となる確率
が等しくなることを使うことに問題はありません。
但し、抽選、つまり２人の競技者のどちら一方のみ
が当たりとなることが条件ですので
２人の競技者をそれぞれ競技者1,競技者2
としたとき、例えば
コインが2枚とも表のときは競技者1の当たり
コインが2枚とも裏のときは競技者2の当たり
コインの1枚が表、もう1枚が裏のときはやり直し
といった書き方でないと、不正確です。

(3)
途中の計算が間違っています。
添付写真の下から4行目で
1/N
がかけられていますが
1/2^N
の誤りでは？

No.88006 - 2024/05/06(Mon) 14:31:06

☆ Re: 確率 / Nick

引用

確かに1/2^Nですね
ありがとうございました。

No.88008 - 2024/05/06(Mon) 21:56:41

★ (No Subject) / はらぷくあおむし

引用

0<a<1のとき、
0<((√(a^2)+1)-1)/a<1を証明してください。

No.88002 - 2024/05/06(Mon) 10:25:12

☆ Re: / X

引用

＞＞0<((√(a^2)+1)-1)/a<1
を
0＜{√(a^2+1)-1}/a＜1
のタイプミスと解釈して回答を。

0＜a＜1 (A)
より
0＜a
ゆえ
0＜{√(a^2+1)-1}/a＜1⇔0＜√(a^2+1)-1＜a
⇔1＜√(a^2+1)＜a+1
⇔1＜a^2+1＜(a+1)^2 (B)
∴(B)を証明します。
(A)より
a^2+1＞0^2+1=1 (C)
又
(a+1)^2-(a^2+1)=2a＞0
∴(a+1)^2＞a^2+1 (D)
(C)(D)より(B)は成立します。

No.88005 - 2024/05/06(Mon) 13:58:02

☆ Re: / はらぷくあおむし

引用

助かります！

No.88007 - 2024/05/06(Mon) 15:25:23

☆ Re: / らすかる

引用

0=(1-1)/a={√(0+1)-1}/a＜{√(a^2+1)-1}/a＜{√(a^2+2a+1)-1}/a={√((a+1)^2)-1}/a={(a+1)-1}/a=1

No.88009 - 2024/05/06(Mon) 22:08:02

★ (No Subject) / たまご

引用

本当に初歩的なことなんですがどうして連立方程式で交点が求まるんでしょうか、円の交点を求めていると不思議な感覚になります

解こうと思えばやり方は覚えたので解けるんですが、根本が分かっていないままやっています。

No.87994 - 2024/05/04(Sat) 02:56:20

☆ Re: / たまご

引用

今日まで、座標っていうのは関数のようにxが決まるとyが決まって、それと同時に座標表面にプロットされるイメージでしたが、円の方程式を勉強していて、xとyが同時に決まっているという方が正しい認識なんだなと思いました。ただ、どうしても連立して出した解がなぜぴったり元の両方の式にハマるのか、いまいち分かりません。連立って何が起こっているんですか？

No.87995 - 2024/05/04(Sat) 03:08:37

☆ Re: / たまご

引用

いろいろ調べて考えてみたのですが、つまりそもそも二つの方程式にそれぞれ無数のxとyの組み合わせがあって、そして二つの式に同時に同じx,yの組が入るので、同じものが入っているとみなした上で片方の変数を削除して片方を求める同値変形が可能、それが連立方程式ということなのでしょうか？

間違いがあったら、教えていただけると嬉しいです

No.87998 - 2024/05/04(Sat) 08:08:48

☆ Re: / 独ソ不可侵条約

引用

そもそも、「グラフ」とは、「条件を満たす点の集まり」なわけで、例えばy=3x+1という式の場合は、y=3x+1を満たす点(0,1)や(3,10)などの集合体と考えられます。円も同じで、例えば以下の図の赤色はx²+y²=4を満たす(x,y)の集まりで、どこをとってもさっきの式に当てはまります。で、青と赤の円の交点は当然赤い円の周上にあるし青い円の周上にもあるということで、両方の式を満たす(x,y)なんです。
で、一旦置いといて連立の話をすると、式「x²+y²=4」を満たす(x,y)はいくつもあります(あたりまえ)。(0,2)とか(1,√3)とか。(x-3)²+(y+1)²=8を満たす(x,y)もいくつもあります。
で、連立方程式の解とは、(簡単のため文字はx,yの2個とする)
両方の式を満たす(x,y)のことです。(それを求めること=連立方程式を解くといいます！)
どちらも同じ結論ということで、どっちの計算も「２つの式を満たす(x,y)を探すこと」をしているということです。だから、連立で2つの式を満たす(x,y)がわかれば、グラフの点のうち、２つの式を同時に満たすものを見つけたことになり、それが「グラフの交点」です。わかっていただけましたか？

No.88000 - 2024/05/04(Sat) 22:13:22

☆ Re: / たまご

引用

めちゃ分かりました！！！ありがとうございました！！！！！

No.88001 - 2024/05/04(Sat) 23:27:48

★ (No Subject) / あ

引用

複二次式の因数分解について質問があります。

x４乗－１４ｘ２乗＋１を、
置き換えにより因数分解すると、
（Ｘ二乗－７＋４√３）（Ｘ二乗－７ー４√３）
と変形できますが、

なぜ差の形を作った時と、因数分解の形が変わるのでしょうか。

これはどういう風に見るべきなのでしょうか。

そもそも置き換えたものを解の公式に適応して強引に因数分解しようとするのが間違いなのでしょうか。

これが間違った因数分解なのだとしたら何が基準なんでしょうか。

No.87990 - 2024/05/03(Fri) 22:34:41

☆ Re: / けんけんぱ

引用

> なぜ差の形を作った時と、因数分解の形が変わるのでしょうか。

ここがわかりません。
因数分解の結果の形が違うという質問であれば、2つの結果を見せてほしいと思います。

No.87991 - 2024/05/03(Fri) 22:59:51

☆ Re: / あ

引用

（x二乗－７＋４√３）（x二乗－７ー４√３）が置き換えでやった場合で、

差の形の場合が、
(x二乗+4x+1) (x二乗-4x+1)かなと思ったんですが。

No.87992 - 2024/05/03(Fri) 23:12:23

☆ Re: / らすかる

引用

因数分解は特に断りがなければ有理数範囲で行いますので、
(x^2-7+4√3)(x^2-7-4√3)
という形にするのは誤りで、
(x^2+4x+1)(x^2-4x+1)
の方が正しいです。
「実数範囲で因数分解」の場合は
x^2-7+4√3=(x+2-√3)(x-2+√3)
x^2-7-4√3=(x+2+√3)(x-2-√3)
また
x^2+4x+1=(x+2-√3)(x+2+√3)
x^2-4x+1=(x-2+√3)(x-2-√3)
ですから、どちらを元に分解しても
x^4-14x^2+1=(x+2+√3)(x+2-√3)(x-2+√3)(x-2-√3)
という形になります。
つまり、まとめると
有理数範囲ならば（通常はこちら）
x^4-14x^2+1=(x^2+4x+1)(x^2-4x+1)
実数範囲ならば
x^4-14x^2+1=(x+2+√3)(x+2-√3)(x-2+√3)(x-2-√3)
となりますので、
x^4-14x^2+1=(x^2-7+4√3)(x^2-7-4√3)
という形はいずれにしても因数分解の結果としては正しくないことになります。

No.87996 - 2024/05/04(Sat) 05:49:18

☆ Re: / あ

引用

おおお！なるほど！どうもありがとうございました！

No.87997 - 2024/05/04(Sat) 06:15:51

★ (No Subject) / あ

引用

質問失礼します。

|a|(絶対値a)は正である、というのは条件ではなく命題と考えていいのでしょうか。

そもそも大学受験においてそんなこと気にする必要はないのかもしれませんが...

No.87982 - 2024/05/03(Fri) 06:37:43

☆ Re: / あ

引用

「aに関する条件」か、ただの命題か、という質問です。

No.87983 - 2024/05/03(Fri) 06:38:27

☆ Re: / IT

引用

高校数学１の教科書　「集合と命題」の「命題と条件」を確認されることをお勧めします。
教科書に書いてありませんか？

No.87984 - 2024/05/03(Fri) 08:57:01

☆ Re: / あ

引用

すみません...もちろん確認したのですが書いてなくて。その後もいろいろ調べましたが、命題か条件かは物凄く細かくは考えなくて良い、が正解らしいですね。

No.87986 - 2024/05/03(Fri) 15:09:04

☆ Re: / IT

引用

そうですね。下記などに少し詳しく書いてありますが
https://www.clearnotebooks.com/ja/questions/513076

No.87987 - 2024/05/03(Fri) 15:49:54

☆ Re: / あ

引用

わざわざありがとうございます。

No.87988 - 2024/05/03(Fri) 16:36:25

★ イプシロンデルタ / プレジョン1

引用

写真の問題についてですが、なぜ赤線部のように
|x0-1|<min{δ,1/2}と考えるのでしょうか？どのように考えればmin{δ,1/2}という考えに至るのでしょうか？また、x0と置き直して？考えているのもよくわからないです。また青線部の条件でδ>0と書いてあることから赤線部のところを|x0-1|<δとして考えるのはダメなのでしょうか？うまく説明できずすみません。
解説おねがいします。

https://d.kuku.lu/wfk7z6axs

No.87981 - 2024/05/02(Thu) 22:17:59

☆ Re: イプシロンデルタ / ポテトフライ

引用

関数f(x)が区間I上の点aで連続であることの定義は理解しているものとします．

＞なぜ赤線部のように|x0-1|<min{δ,1/2}と考えるのでしょうか？どのように考えればmin{δ,1/2}という考えに至るのでしょうか？

ここの解説で言いたいことは
lim[x \to 1]F(x)=4であることはおかしい
ということです．

しかし今は「lim[x \to 1]F(x)=4である」としているので定義により
ε=1/2に対して，あるδ>0が存在して|x-1|<δならば|F(x)-4|<1/2・・・（※）
であることが言えいます．
そのためxを極限を取りたい1の近く（この場合は|x-1|<1/2となるようなx）にしても|F(x)-4|<1/2が成立しなければいけません．

しかし下の方の計算を見れば
|F(x)-4|>=-|x-1|+1
であることは常に言えます．このときのxは|x-1|<1/2となるようなxを選んでいるので
|F(x)-4|>=-|x-1|+1>-1/2+1=1/2
となってしまい，（※）に反します．

すなわち|x-1|<min{δ,1/2}であるようなxについては
|F(x)-4|<1/2
|F(x)-4|>=1/2
という相反する状況が起こってしまう．ということを言っています．

＞また、x0と置き直して？考えているのもよくわからないです。

ここはそこまで深い意味はないと思います．強いて言えば|x_0-1|<1/2となる特別な点について議論していることを強調しているのでしょう．

＞また青線部の条件でδ>0と書いてあることから赤線部のところを|x0-1|<δとして考えるのはダメなのでしょうか？

|x_0-1|<δだけでは相反することまで言えないのでダメです．

No.87989 - 2024/05/03(Fri) 17:01:38

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