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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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全称命題 存在命題 NEW / カステラ
京都大学2019年の問題について
命題を全ての実数aに変えるとどうなりますか?
考えてもよくわからなかったので知りたいです

No.80548 - 2022/01/28(Fri) 23:02:54

Re: 全称命題 存在命題 NEW / らすかる
「ある実数xが不等式ax^2+bx+c<0をみたす」ためには
・a<0(上に凸な放物線ならばx→±∞のとき-∞)
・a=0,b≠0(一次式ならばx→+∞またはx→-∞のどちらかで-∞)
・a=0,b=0,c<0(定数ならc<0が必要)
・a>0,b^2-4ac>0(下に凸な放物線がx軸と2点で交わる)
ですから
すべての実数bに対して成り立つためのa,cの条件は
「min(a,c)<0」
すべての実数aに対して成り立つためのb,cの条件は
「c<0」または「b≠0かつc=0」
すべての実数cに対して成り立つためのa,bの条件は
「a<0」または「a=0かつb≠0」
となると思います。

No.80549 - 2022/01/29(Sat) 00:50:18
(No Subject) NEW / みの 中1
「1つの面が正方形の多面体は、正六面体しかないことを、1つの頂点に集まる正方形の数に注目して説明しましょう。」という問題がどうしても解けなくて困っています。誰かわかる方がいたら分かりやすく解説お願いします。
No.80546 - 2022/01/28(Fri) 21:03:58

Re: NEW / ヨッシー
正方形は融通が効かないので、正三角形で考えましょう。

これは正四面体です。一つの頂点に、いくつ正三角形が来ていますか?

これは正八面体です。一つの頂点に、いくつ正三角形が来ていますか?

これは正二十面体です。一つの頂点に、いくつ正三角形が来ていますか?
正三角形がもう1つ増えるとどうなりますか?
紙を切ってでも良いので、試してみましょう。
また、正四面体のときより、正三角形が1つ少ないとどうなりますか?

これが理解できたら、

正六面体に挑戦しましょう。

No.80547 - 2022/01/28(Fri) 21:29:45
積分 NEW / 高校2年生
写真の492番で、黄色のマーカーを引いたところの2b2dがどちらも0になるというのがよく理解できません。分かりやすく説明をお願いします。
No.80544 - 2022/01/28(Fri) 19:46:10

Re: 積分 NEW / キャルちゃんprpr
関数の定義域次第。
仮に実数全体で定義されているとすると、f(-x)=-f(x)が任意のxに対して成り立っているので、特にx=0を代入すると2d=0が得られ、そしてx=1を代入すれば2b=0も得られる。
関数fが少なくとも絶対値の異なる2点x=α,βで定義されてさえいれば、fの定義域に0が含まれてなくても、x=α,βをそれぞれ代入すると、
2bα^2+2d=0
2bβ^2+2d=0
が得られ、これより両辺引くと
2b(α^2-β^2)=0。よって、α^2≠β^2より、2b=0
これから2d=0も得られる。

No.80545 - 2022/01/28(Fri) 19:57:24
(No Subject) NEW / くんすけ
|z-i/z-1|=2がどのような図形を表すか。

という問題で両辺を二乗して整理しようと考えたのですが、半径がうまくまとまりませんでした。

解答解説をお願いします。

因みに中心は4-i/3と思います。

No.80542 - 2022/01/28(Fri) 18:53:12

Re: NEW / IT
出来た式と途中の要所を書かれると有効な回答が付きやすいと思います。
No.80543 - 2022/01/28(Fri) 19:21:36
数?T 教科書 NEW / 西
y=-3X二乗-5X(-2≦X≦1)の最大値と最小値
デジタルの答えらしきものには最大値12分の25(X=-6分の5)最小値-8(X=-1) ??となってました

No.80538 - 2022/01/28(Fri) 08:15:56

Re: 数?T 教科書 NEW / らすかる
y=-3x^2-5xは二次の係数が負なので上に凸
-3x^2-5x=-3(x+5/6)^2+25/12であり
x=-5/6は-2≦x≦1の区間に含まれるので
x=-5/6のときに最大値25/12をとる
最小値は端点のどちらかであり
-3x^2-5xに
x=-2を代入すると-2
x=1を代入すると-8
なので、最小値はx=1のとき-8

No.80539 - 2022/01/28(Fri) 08:40:58
代数学 / ミキ
体E=Q(√3,√5),G=Gal(E/Q)について
(1)Gの指数2の部分群をすべて求めよ。
(2)拡大E/Qの中間体を全て求めよ。
この2問のご教授をお願い致します。

No.80533 - 2022/01/27(Thu) 23:39:48

Re: 代数学 / ミキ
すみません、(1)のみお願い致します。
No.80534 - 2022/01/27(Thu) 23:49:03
場合の数 / ケンタ
化学で錯体や異性体を数えるような問題で、重複は考えないが、大方の配置の仕方の数を求める方法はありますか?
例としては、1つの球を中心にして囲むように正方形の4隅で位置している4つの球(種類は一種類から4種類まででそれぞれどうなるか)の配置の仕方の数
1つの球を中心にして囲むように正八面体の6つの頂点で位置している6つの球(種類は1〜6種までで、2種の場合を例として見せてほしい)の配置の仕方の数
自分的にはコンビネーションを使う?や固定する?や根性で列挙する?といった方法があると感じますが、実践出来るほど、体系化できていません。
これらを分かりやすく、できれば図示して教えていただけると幸いです。

No.80532 - 2022/01/27(Thu) 20:10:56
(No Subject) / くんすけ
以下の問題のP_nとq_nの値を求めよ。という問題の解説をお願いします。

答えは
P_n=3(n-1)(n-2)/N(N-1)(N-2)
q_n=3n^(2)-3n+1/N^3 です。

No.80530 - 2022/01/27(Thu) 16:29:37

Re: / X
(i)p[n]について
全てのカードの引き方は
NC3=(1/6)N(N-1)(N-2) [通り]
このうち、X=nとなるカードの引き方の数は
数字がn-1以下のカードを2枚引く引き方
の数に等しく
(n-1)C2=(1/2)(n-1)(n-2) [通り]
∴p[n]={(1/2)(n-1)(n-2)}/{(1/6)N(N-1)(N-2)}
=3(n-1)(n-2)}/{N(N-1)(N-2)}

(ii)q[n]について
全てのカードの引き方はN^3[通り]
このうち、Y=nとなる場合は
3枚のカードの数値がn以下
かつ、少なくとも1枚がn
の場合なので引き方の数は
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1[通り]
∴q[n]=(3n^2-3n+1)/N^3

No.80531 - 2022/01/27(Thu) 18:31:18

Re: NEW / くんすけ
ありがとうございます。記述での書き方としても
上記の書き方(Xさんの書き方)で、いいのですか?

No.80537 - 2022/01/28(Fri) 07:58:08

Re: NEW / X
記述の書き方として通用するようにNo.80531を
一部修正しました。再度ご覧下さい。

No.80540 - 2022/01/28(Fri) 15:23:40

Re: NEW / くんすけ
丁寧にありがとうございます。
No.80541 - 2022/01/28(Fri) 18:03:21
積分 / eg
これを満たすan,bn,cn,Dan は存在するのでしょうか?
いくら計算しても見つかりませんでしたので、教えて頂きたいです

No.80527 - 2022/01/27(Thu) 11:06:55

Re: 積分 / eg
Danは誤りでdnです
No.80528 - 2022/01/27(Thu) 11:07:49

Re: 積分 / ast
a[n]=c[n]≡0, b[n]=n, d[n]=(n^2-√(n^4-16176n))/(2n) とかでいいんじゃないの?
No.80529 - 2022/01/27(Thu) 13:07:53
三角形の成立条件、辺と角の関係 / 数学雑魚
いつもお世話になっております。
以下の問題の解き方について教えて頂きたいです。

△ABCのABが3x+2、BCが4x、CA:が6である。
答えがないので正誤は分かりません。

?@xの範囲
xの範囲は4<x<8

?A辺ABが最長の時のx範囲
ABが最長ならば、∠Cが最大角で鈍角になると思い
c^2>a^2+b^2で
(3x+2)^2>(4x)^2+6^2
でやってみましたが成り立たず…

・そもそもxの範囲が4<x<8でABが最長になることなんてありますか?
・もしなるのであればc^2>a^2+b^2でxの範囲を出す考え方は合っていますか?

問題持ち帰り不可の学校の試験問題を、
先生が生徒から聞いてまとめたものなので問題として少し怪しいですが教えて頂けると幸いです。

No.80525 - 2022/01/27(Thu) 08:56:45

Re: 三角形の成立条件、辺と角の関係 / ヨッシー
xの範囲は 4/7<x<8 です。

ABが最長なので、単純に
 AB>BC かつ AB>CA
を解けばいいと思います。

広義で言えば、 AB≧BC かつ AB≧CA かな。

No.80526 - 2022/01/27(Thu) 09:15:09

Re: 三角形の成立条件、辺と角の関係 / 黄桃
三角形の成立条件とは、
三角形の一辺は他の二辺の和より小、かつ他の2辺の差より大
です。

くわしく書けば、三角形の三辺の長さをa,b,c とすれば、a,b,cの大小にかからわず
|a-b|<c<a+b
であることが(正の数)a,b,cを三辺とする三角形ができる必要十分条件です。

これは、正の数a,b,cについて、
a-b<c かつ b-a<c かつ c<a+b, つまり、a<b+c, b<c+a, c<a+b
と書いても同じことです。
こう書けば、a,b,cについて対称であることがはっきりわかるでしょう。

No.80535 - 2022/01/28(Fri) 00:28:45
二重積分 / わろ
積分順序を変更して二重積分を求める問題です。
No.80521 - 2022/01/27(Thu) 00:56:58

Re: 二重積分 / わろ
答えの求め方が分かりません。教えてください。
No.80522 - 2022/01/27(Thu) 00:59:17

Re: 二重積分 / ast
順序交換すればあとは自明では?
 ∫[0,π](∫[x,π]cos(y^2)dy)dx = ∫[0,π](cos(y^2)∫[0,y]dx)dy = ∫[0,π]y*cos(y^2)dy = sin(π^2)/2.

No.80523 - 2022/01/27(Thu) 02:00:08

Re: 二重積分 / わろ
助かりました
ありがとうございます!

No.80524 - 2022/01/27(Thu) 02:48:30
積分の問題 / ぐっち
http://www.math.iitb.ac.in/~gopal/papers/Dedekind_reflection_formula.pdf
の中の(6),(8)の式がなぜ出てくるのかわからないです。教えてください。

No.80516 - 2022/01/26(Wed) 20:09:03

Re: 積分の問題 / ast
具体的には何が分からないのでしょうか?

(6)と(8)を得る手順は
> adding (4) and (5), dividing through by 1/(w+1) and integrating over (0,∞).

> Subtract (5) from (4), divide by (w-1) and integrate with respect to w over (0,∞).
でそれぞれ提示されていると思いますのでその通りに従ったらよいと思います.
(もし行間を感じるのであれば, 両者はほぼ同じ手順で並列的に記述されているので, 読み比べて見れば意図も分かるのでは).

# 手順において明示的に書かれていない点としては, 手順に従って両者とも x,w の逐次積分の形にした後
# 積分順序は w から行うことと, (8)式の最後の等号はいわゆる「積分記号下の微分」を用いていること,
# の2点くらいではないかと思いますが.
## (前者に関しては, 最終形が x での積分なのだから明示されていないは言い過ぎとは思う)
## (また, 2点とも極限の順序交換と考えると「やっていいかは厳密には要検討案件」ではある)

No.80519 - 2022/01/26(Wed) 23:22:16

Re: 積分の問題 / ぐっち
式の分母が積の形なので、部分分数に分解して積分することで求めたい式が得られました。基本的なことが抜けていましてお手数をおかけしました。
No.80520 - 2022/01/27(Thu) 00:12:59
(No Subject) / 寿司
(1+1/n)^(1/n)が収束する理由を教えてください
No.80513 - 2022/01/26(Wed) 18:03:11

Re: / IT
挟み撃ちによります。
1<(1+1/n)≦2
1<(1+1/n)^(1/n)≦2^(1/n)→1(n→∞)

2^(1/n)→1(n→∞) を示す必要がありますか?

No.80515 - 2022/01/26(Wed) 18:28:28

Re: / IT
1<a、自然数n について
 1<a≦a^n ∴ 1<a^(1/n)≦a
a=1+1/n とすると 1<(1+1/n)^(1/n)≦1+1/n→1(n→∞)
の方が簡単ですね。

No.80517 - 2022/01/26(Wed) 20:31:58
(No Subject) / カマキリ
Σ(n=1→∞){1/(n^2・9^n)}という級数が収束するかってどのように求まりますか
No.80507 - 2022/01/25(Tue) 23:30:26

Re: / IT
正項級数なので、たとえばΣ(n=1→∞){1/(9^n)}で上から押さえて、評価すれば良いのでは。
No.80509 - 2022/01/26(Wed) 07:36:55
灘中入試問題 / 関数電卓
漂流中に見つけた 灘中学校の入試問題 が難しいです。特に最後の [12]
私は,大人気なく図のような空間座標を設定してねじ伏せましたが,これは場外乱闘ですよね。
リング内で戦うにはどうしたらよいのでしょう。教えて下さい。

No.80505 - 2022/01/25(Tue) 19:20:22

Re: / ヨッシー
(12)
この立体は、正八面体を半分に切ったものなので、一旦、元の八面体に戻して考えると、

図のように、1辺を共有した2つの正八面体が、面が重なるまで動いたとき、
底面(?)はどこまで持ち上がるかという問題になります。

つづく

No.80506 - 2022/01/25(Tue) 23:08:36

Re: / ヨッシー
面をくっつけた状態の図の主要部分を抜き出し図のように
ABCGHIMを決めます。

このとき、AMをaとすると、aは正四面体において、

図のような位置にあり、2乗すると 1/2 になる数です。
(灘を受けるような子なら、√2 を使っても良いと思います。)
△ABM、△BCH、△BHI、△HCI は相似で、
 BH:HC=AM:MB=a:1/2
よって、
 CI:BI=a^2:1/4=1/2:1/4=2:1
これより
 MI:IC=AH:HC=1:2
となり、

図のような面積比となり、
 AM:GJ=3:4
これより、Gの高さはAの高さの 4/3=1と1/3 倍となります。

No.80508 - 2022/01/25(Tue) 23:43:16

Re: 灘中入試問題 / 関数電卓
ヨッシーさん,有り難うございます。
問題もキチンと貼らず失礼しました。改めまして。

No.80510 - 2022/01/26(Wed) 16:37:14

Re:灘中入試問題 / 関数電卓
ところで,ヨッシーさんが求めて下さったのは,下図のように
 赤い四角錐を BC を軸に回転させ D と A を重ねたときの移動後の G の位置
ですよね。この G の高さも確かに 4/3・(Aの高さ) になるようですが,問題の要求は,
 接着面を △ABC の重心の回りに 120°回したときに点 F が移る位置
なので,簡単ではないと思われます。

No.80511 - 2022/01/26(Wed) 16:53:17

Re: 灘中入試問題 / ヨッシー
>接着面を △ABC の重心の回りに 120°回したときに点 F が移る位置
は、点Gと一致するので、これで良いのです。


図の赤の線は床と平行なので、手前も奥も高さは同じです。

No.80512 - 2022/01/26(Wed) 18:01:14

Re: 灘中入試問題 / 関数電卓
> 関数電卓の図の右の方のGと一致する
なるほど です。納得しました。有り難うございます。
それにしても,これって,小学生が到達できる 空間認識 でしょうか!?!
灘中受験生は…異次元??

No.80514 - 2022/01/26(Wed) 18:13:32

Re: 灘中入試問題 / ヨッシー
灘だけではなく、甲陽もラ・サールも開成もです。

もっとすごいのは、こういう問題を作る人。

No.80518 - 2022/01/26(Wed) 21:41:09
0.4 / 確率
箱の中に2,3,4,5,6が書かれたカードが一枚ずつある。一枚引いて箱に戻すことをn回繰り返す。引いたn個の数の和が偶数となる確率を求めよ
No.80495 - 2022/01/25(Tue) 00:05:25

Re: 0.4 / ヨッシー
n回目に偶数である確率をp[n] とします。
奇数である確率は当然 1−p[n] です。
このとき
 p[1]=3/5
 p[n+1]=(3/5)p[n]+(2/5)(1−p[n])
という漸化式が出来ます。
変形して
 p[n+1]=(1/5)p[n]+2/5
 (p[n+1]−1/2)=(1/5)(p[n]−1/2)
q[n]=p[n]−1/2 とおくと、q[n] は、初項
 q[1]=p[1]−1/2=1/10
公比 1/5 の等比数列なので、
 q[n]=(1/2)(1/5)^n
よって、
 p[n]=q[n]+1/2=(1/2)(1/5)^n+1/2
と求められます。

nを大きくすると、1/2 に近づくのがわかります。

No.80498 - 2022/01/25(Tue) 06:19:05

Re: 0.4 / 二項定理
1,2,3,4,5で二項定理を使ったやり方も教えて欲しいです
No.80501 - 2022/01/25(Tue) 11:34:51

Re: 0.4 / ast
# この質問者は件名とハンドル名を逆に入力してるのか……? (いや, ハンドルが0.4ってのも妙か……?)

> 二項定理を使ったやり方
(二項定理「二項式の自然数乗における二項係数が組合せの数で表される」の理由を理解している前提で, 同様に理由により) (x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n の展開を考えると, これは各項が:
 [i] x の指数部分が本問における「引いたn個の数の和」
 [ii] 係数部分が本問における「そのn個の数を引く場合の数」
となっており, かつこの展開に現れる係数の総和 (展開式に x=1 を代入したもの) が全ての場合の数をちょうど表しているので, またこれをうまく偶数次の項だけ残るように調整したものが本問において求める場合の数であるので, 結局

  (((x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n+((-x)^2+(-x)^3+(-x)^4+(-x)^5+(-x)^6)^n)/2) / (x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n

に x=1 を代入したものを求めれば必要な確率が得られる, というような話のことを指していると理解してよいですか?

> 1,2,3,4,5で
ってのがよくわからないが.
# 本問の数値を 2,3,4,5,6 から 1,2,3,4,5 に変えた問題をそれで解け, という意味だろうか?
## だとしても単に数値を変えるだけで済む話だし改めて述べることはないが.

No.80502 - 2022/01/25(Tue) 12:31:22

Re: 0.4 / 黄桃
いけず、ですねぇ。

#母関数を知っているような人はこのような質問はしないでしょう。

1回引くと、奇数が出る確率が3/5, 偶数が出る確率が2/5 の時、n回引いて合計が偶数となる確率を2項定理を用いて解け、でしょう。
求める確率Pは、n回のうち奇数が偶数個でる確率と等しいので、これを求めるのでしょう。
p=(3/5),q=(2/5)とすれば、とおけば、おそらく期待している答は、
(q+p)^n=q^n+nC1*p*q^(n-1)+nC2*p^2*q^(n-2)+...+nC(n-1)q*p^(n-1)+p^n
(q-p)^n=q^n-nC1*p*q^(n-1)+nC2*p^2*q^(n-2);...+(-1)^(n-1)nC(n-1)*q*p^(n-1)+(-1)^n*p^n
辺々加えると p+q=1, q-p=-1/5だから
1+(-1/5)^n=2(q^n+nC2*p^2*q^(n-2)+nC4*p^4*q^(n-4)+...)=2P
より求まる、でしょう。

No.80536 - 2022/01/28(Fri) 00:32:14
(No Subject) / print()
R上で微分可能な関数fが
“すべてのx∈Rについてf’(x)≠1”
を満たす時、fが持つ不動点の個数は1以下であることを平均値の定理を用いて示せ。

中間値の定理を使って不動点を持つことの証明はできたのですが、不動点の個数の数を平均値の定理を使って証明する方法がわかりません。
わかる方教えてください🙏

No.80491 - 2022/01/24(Mon) 20:57:39

Re: / IT
f(x)-x について、平均値の定理を使えば良いのでは
不動点の個数が2個以上あったとして矛盾を示す。

>中間値の定理を使って不動点を持つことの証明はできた
どうやって示されましたか?

No.80493 - 2022/01/24(Mon) 21:05:01

Re: / print()
> どうやって示されましたか?
(1)の問題で
R上で連続な関数fが
“すべてのx∈[0,1]についてf(x)∈[0,1]”
を満たす時、fは[0,1]内に不動点を持つことを
中間値の定理を用いて示せ。という問題で

g(x)=f(x)-xと置く
条件より
g(0)=f(0)-0<0
g(1)=f(1)-1>0
よって、g(0)<0<g(1)
が成り立つので中間値の定理より、
g(x)=0となるx(0≦x≦1)が存在する。

という証明になりました。
(2)の問題が今聞いているものです。

No.80494 - 2022/01/24(Mon) 21:20:46

Re: / 高校三年生
これは「対偶命題」を考えて、不動点(y=xとの交点)が二つある場合、
平均値の定理より必ず、f’(x)=1 を満たす x が存在するから・・・。
というような感じで示すのが一般的なのかも。

No.80497 - 2022/01/25(Tue) 05:33:01

Re: / IT
> これは「対偶命題」を考えて、不動点(y=xとの交点)が二つ
そうですね。「矛盾を示す」というよりも「対偶を考える」といった方が良いですね。

No.80499 - 2022/01/25(Tue) 07:29:15

Re: / print()
方針はわかったのですがどのような流れで証明していけばいいのかわかりません...もう少し詳しく教えていただけませんか?
No.80500 - 2022/01/25(Tue) 09:38:12

Re: / IT
高校三年生 さんの 回答で流れが書いてあると思います。
少し詳しく書くと
流れ、
 ・・・に2つの不動点a,b(a<b)があるとき
 ・・・とおくと
 g(a)=g(b)である。
 平均値の定理から g'(c)=・・・・・ なるc(a<c<b)が存在する。
・・・

したがって、(証明すべき命題・・・)が成立する。

No.80503 - 2022/01/25(Tue) 12:38:55
(No Subject) / Y.H
半径2の円周上に4点A、B、C、Dを
弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=4:4:3:1
となるようにとる。
(1)ACの長さ
(2)BDの長さ
(3)ADの長さ

どなたか分かる方回答お願いいたします。

No.80488 - 2022/01/24(Mon) 18:19:55

Re: / X
問題の円の中心をOとすると条件から
∠AOB=∠BOC=2π・(4/12)=2π/3 (A)
∠COD=2π・(3/12)=π/2 (B)
∠DOA=2π・(1/12)=π/6 (C)

(1)
(B)(C)から
∠AOC=COD+∠DOA=2π/3
これと(A)より
△ABCは正三角形
なので正弦定理により
AC/sin(π/3)=4
∴AC=2√3

(2)
(A)(C)から
∠BOD=∠DOA+∠AOB=5π/6
∴△BODに注目して
BD=2・2sin{(1/2)(5π/6)}
=4√{(1-cos(5π/6))/2} (∵)半角の公式
=4√{(2+√3)/4}
=4(1+√3)/{2√2}
=√2+√6

(3)
△AODに注目すると、(C)から
AD=2・2sin{(1/2)(π/6)}
=4√{(1-cos(π/6))/2} (∵)半角の公式
=√6-√2

No.80489 - 2022/01/24(Mon) 18:37:45

Re: / らすかる
別解

条件から∠ABC=60°、∠BCD=75°、∠CDA=120°、∠DAB=105°、∠DBC=45°とわかる。

(1)
△ABCは半径2の円に内接する正三角形なので
その一辺の長さであるACは2√3。
(例えば△ABCの重心から頂点までの距離が2であることからわかる)

(2)
CからBDに垂線CHを下すと
△BCHはBH=CHの直角二等辺三角形でBC=2√3なのでBH=√6
△CDHは∠HCD=30°、∠CDH=60°、∠DHC=90°の三角形なので
CH=BH=√6からDH=√2
∴BD=DH+BH=√2+√6

(3)
∠BAE=15°となるようにBD上に点Eをとると
△ABEはAE=BEの二等辺三角形で
△AEDは∠DAE=90°、∠AED=30°、∠EDA=60°の三角形
よってBE=AE=(√3)AD、DE=2ADからBD=BE+DE=(2+√3)AD
∴AD=BD/(2+√3)=√6-√2

No.80496 - 2022/01/25(Tue) 00:06:46
指数にxがあります / 即炉
(a^x)+(b^x)=c

a,b,cを使って、xについて解いてくださいませんか

No.80485 - 2022/01/24(Mon) 17:54:48
(No Subject) / もる
kを実定数とし、fk(x)=x^k(logx)とする
(1)不定積分∫|fk(x)|を求めよ
一応答えは出しました
→(x^(k+1)/k+1)(log(x-1)/k+1)
(2)広義積分∫[0→1]|fk(x)|dxが収束するためのkの値とその時の積分値を求めよ

色々ネットで調べてみたのですが(2)をどのように考えていくのかわかりません。教えていただけると幸いです。

No.80481 - 2022/01/24(Mon) 14:03:44

Re: / X
(1)
間違えています。

部分積分により
0<x≦1かつk≠-1のとき
(与式)=-{1/(k+1)}{x^(k+1)}logx+{1/(k+1)^2}x^(k+1)+C
(Cは積分定数)
0<x≦1かつk=-1のとき
(与式)=-(1/2)(logx)^2+C
(Cは積分定数)
1≦xかつk≠-1のとき
(与式)={1/(k+1)}{x^(k+1)}logx-{1/(k+1)^2}x^(k+1)+C
(Cは積分定数)
1≦xかつk=-1のとき
(与式)=(1/2)(logx)^2+C
(Cは積分定数)

(2)
(1)の結果から、
(i)k=-1のとき
∫[0→1]|f[k](x)|dx=lim[x→+0]{(1/2)(logx)^2}
∴不適
(ii)k≠-1のとき
∫[0→1]|f[k](x)|dx=lim[x→+0]{{1/(k+1)}{x^(k+1)}logx-{1/(k+1)^2}x^(k+1)+1/(k+1)^2} (A)
∴求める条件は
lim[x→+0]{{x^(k+1)}logx} (B)
が収束する条件となります。
∴少なくとも
k+1>0
i.e.-1<k (C)

逆に(C)のとき、ロピタルの定理により
(B)=lim[x→+0]-{-(logx)/{x^(-k-1)}}
=lim[x→+0]-{(-1/x)/{(-k-1)x^(-k-2)}}
=lim[x→+0]{1/(-k-1)}x^(k+1)
=0

以上から求める条件は
-1<k
このとき(A)より
∫[0→1]|f[k](x)|dx=1/(k+1)^2

No.80487 - 2022/01/24(Mon) 18:14:46
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