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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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極限 NEW / 米粉
十分大きな自然数nに対し、n!、n^nの大小関係を求める問題が分かりません。解いていく手順など詳しく教えていただきたいです。お願いします。n!はnの階乗で、n^nはnのn乗です。
No.82681 - 2022/07/07(Thu) 17:10:36
ルンゲクッタ法を用いた問題です。 NEW / シス荘
回答がつかなかったので同じ内容の2回目の投稿になります。すいません。どうしても分からないので教えてもらえませんかm(_ _)m

質量 6.0 kg の質点を初速 v0 = 20 m/s 仰角 θ = 15°, 30°, 45°, 60°, 75° を斜方投射する 軌跡を、運動方程式をルンゲクッタ法で解くことで求めて図で示せ。また、それらの軌跡 を比較し、最も飛距離が長いものを答えよ。ただし、重力加速度は 9.8 m/s2 とし、空気 抵抗は考えないものとする。

No.82680 - 2022/07/07(Thu) 16:08:00
軌跡 NEW / な
aは定数でa>1とし、点(a,0)を通る傾きmの直線と円x^2+y^2=1が異なる2点A,Bで交わる。
(1)mの値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲をmが動くとき線分ABの中点の軌跡を求めよ。

(2)で線分ABの中点を点(X,Y)として、解と係数の関係などを使った軌跡をまとめようとしたらら、明らかに違う直線の方程式が出たのですが、(Y=-(1/m)X m≠0じゃないが)どこが間違っているのか教えて下さい。あと模範解答も待ってます。

No.82677 - 2022/07/06(Wed) 23:32:53

Re: 軌跡 NEW / X
Y=-(1/m)X
ではmが変数なので、変形が中途半端です。
これを以って
軌跡が直線である
とは言えません。
(傾きが変数になっていますので、この形では
原点を通る直線の集合(但し、Y=0は含まず)
としか言えません。)

軌跡が曲線の場合、方程式は次の(i)(ii)いずれかの形になります。
(i)
mが完全に消去されたX,Yで表された方程式
(ii)
X=f(m)
Y=g(m)
(f(m),g(m)はmの関数)

軌跡の形状を判断する場合は、
(i)の形にして一目で分かるように
するのが一般的な方針です。

但し、(ii)の式の形に変形して、
軌跡の形状が分かる場合もあります。
例)
X=cosm
Y=sinm
(mは0≦m≦πなる変数)
これは
原点を中心としたX軸に関して上側の半径1の半円
を表します。

No.82679 - 2022/07/07(Thu) 06:13:13
面積分 / 面積分
写真のように解きましたが
解答は4πで合いませんでした。
どこが間違っているでしょうか?

No.82671 - 2022/07/06(Wed) 12:13:59

Re: 面積分 NEW / X
極座標に変換した後の被積分関数にヤコビヤンが
かけられていないのも誤りですが、それ以前に
途中からの計算がSのz≧0の部分のみの積分に
なってしまっています。

ちなみにこの積分は面積分さんのような
複雑な計算をしなくても解けます。
S上においてr=aですので
(与式)=∫∫[S]dS/r^2=(1/a^2)∫∫[S]dS
=(1/a^2)・4πa^2
=4π

No.82673 - 2022/07/06(Wed) 18:30:22

Re: 面積分 NEW / 面積分
ありがとうございます。
No.82678 - 2022/07/07(Thu) 02:18:26
整数(合同式) / Nao
合同式の単元での問題ですので、合同式を用いて解く問題だと思うのですが、解けません。。。
解答がないため正答をお示しできないのですが、お分かりになる方、解説いただけないでしょうか。

No.82667 - 2022/07/06(Wed) 00:26:44

Re: 整数(合同式) / ヨッシー
7x=1000−18y を7を法にした合同式にすると、
 0≡6−4y
 y≡5
よって、y は、
 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54
の8個であり、それに対するxは、
 130, 112, 94, 76, 58, 40, 22, 4
です。

No.82669 - 2022/07/06(Wed) 08:27:30

Re: 整数(合同式) NEW / Nao
よくわかりました。
ありがとうございました。

No.82675 - 2022/07/06(Wed) 20:47:13
離散数学 / なゆ
橋を持たない3正則グラフは2因子を持つ
これを示せ

No.82665 - 2022/07/05(Tue) 22:51:16
面積分 / 面積分
写真のように解きましたが、解答は11√14
で合いません

どこが間違いでしょうか?yの範囲はこれで合ってますか?

No.82661 - 2022/07/05(Tue) 21:40:32

Re: 面積分 / 面積分
すいません。計算ミスしてました。解決しました。
No.82662 - 2022/07/05(Tue) 21:45:47
分散など / りりり
X〜exp(5)の期待値と分散を求めよという問題なのですが、この場合のx〜exp(5)意味がわかりません。よろしくお願いします。
No.82655 - 2022/07/05(Tue) 16:47:19
マクスウェル方程式の境界条件について / 境界条件
スレチだったら申し訳ありません。
マクスウェル方程式の境界条件について。大学で電磁波の勉強をしているのですが,以下の第三種境界条件(混同境界条件)の式が導出できません。
題は媒質1が完全導体,媒質2が不完全導体の時の境界条件を一般化したものについてです。ネット上でも文献が少なく,いろいろ自分で式を変形しているのですが,なかなか難しいです。
大変初歩的な質問で恐縮なのですが,導出過程をしめしていただけないでしょうか。不足している情報があれば随時お答えいたします。

No.82654 - 2022/07/05(Tue) 12:25:39

Re: マクスウェル方程式の境界条件について / X
(1.55)の↑nとの外積を左から取ると
↑n×(↑n×↑E)=-ηZ[0]↑n×↑H (A)
((∵)↑n×↑n=↑0)
一方、マックスウェルの方程式から
∇×↑E=-μ[1](∂/∂t)↑H (電磁誘導の法則) (B)

質問内容には書かれていませんが
(∂/∂t)↑H=jω↑H
を仮定できるのであれば、

(B)より
↑H=-{1/(jωμ[1])}∇×↑E
これを(A)に代入すると
↑n×(↑n×↑E)={ηZ[0]/(jωμ[1])}↑n×(∇×↑E) (A)'
ここで
Z[0]=√(μ[0]/ε[0])
k[0]=ω√(ε[0]μ[0])
により
Z[0]/ω=(1/k[0]){√(ε[0]μ[0])}√(μ[0]/ε[0])
=μ[0]/k[0]
これを(A)'に代入して
↑n×(↑n×↑E)={ημ[0]/(k[0]μ[1])}↑n×(∇×↑E) (A)"
更に条件から
μ[r1]=μ[1]/μ[0]
に注意すると(A)"は
↑n×(↑n×↑E)={η/(jk[0]μ[r1])}↑n×(∇×↑E)
∴(jk[0]/η)↑n×(↑n×↑E)=(1/μ[r1])↑n×(∇×↑E)
となり、(1.56)を得ます。



似たような変形を(1.54)に行えば(1.57)を得られると思います。
但し、こちらに使うマックスウェルの方程式は
∇×↑H=ε[1](∂/∂t)↑E (つまり、アンペールの周回積分の法則の方)
で、これも
(∂/∂t)↑E=jω↑E
が仮定できれば
∇×↑H=jωε[1]↑E
となりますので、これを使って、(1.54)から↑Eを消去していきます。

No.82658 - 2022/07/05(Tue) 18:07:02
面積分 / 範囲
写真のように解きましたが、解説の解答は0で間違っていました。
どこが間違っているでしょうか?

No.82653 - 2022/07/05(Tue) 11:19:32

Re: 面積分 / GandB
 0になったので、たぶん合ってると思う。
No.82656 - 2022/07/05(Tue) 16:57:05

Re: 面積分 / 範囲
範囲が 2-xでしたか。
丁寧にありがとうございます。

No.82657 - 2022/07/05(Tue) 17:09:00
範囲の求め方 / 範囲
6-2x-3y が0以上
xが0以上
yが0以上
のとき、xとyの範囲はどうやって求めたらいいですか?

No.82650 - 2022/07/05(Tue) 10:39:52

Re: 範囲の求め方 / ヨッシー
6-2x-3y≧0
x≧0
y≧0
のグラフを描いてみるのが第一歩です。

一概に x と y の範囲と言っても、
0≦x≦3, 0≦y≦2 ではありますが、
(x, y)=(2, 3) という組み合わせは存在しないので、
どう答えるべきかは、何を聞かれているかによります。

多分、
6-2x-3y が0以上
xが0以上
yが0以上
のときの、x と y の範囲を求めよ。
という問題ではないと思います。

x と y が取りうる値の範囲をそれぞれ求めよ。
ならあり得ます。

No.82651 - 2022/07/05(Tue) 10:46:17

Re: 範囲の求め方 / 範囲
面積分の問題です。積分範囲を求めたかったです。
No.82652 - 2022/07/05(Tue) 11:11:01
ベクトル / Sky
解答がついておらず、添付の問題が解けません。
解ける方がいれば教えていただきたく、よろしくお願いします!

No.82648 - 2022/07/04(Mon) 23:58:12

Re: ベクトル / ヨッシー
∠AOB=60°は明らかであり、

を考慮すると、Pの存在範囲は以下のようになります。

面積は、4を高さとすると底辺は 8/√3 なので、
 16/√3=16√3/3
OPが最大となるのは図の●の位置で、座標で言うと
 (-1, 3√3)
よって、
 OP=√28=2√7

No.82649 - 2022/07/05(Tue) 08:53:58

Re: ベクトル / Sky
ヨッシーさま

ありがとうございます。

面積の部分ですが、4×8/√3ですと、16√3/3ではなく、32√3/3かと思うのですが、認識に相違ないでしょうか。

No.82666 - 2022/07/06(Wed) 00:21:20

Re: ベクトル / ヨッシー
おっと、そうでした。

三角形のクセで2で割ってました。
 32√3/3
です。

No.82668 - 2022/07/06(Wed) 08:14:51

Re: ベクトル NEW / Nao
ありがとうございます!
No.82674 - 2022/07/06(Wed) 20:46:28
変曲点における接線 / TOM
TOM

こんばんは。
y=(x-1)^3の変曲点A(1,0)における直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aでy=(x-1)^3のグラフを切ってしまうので、接線のように
見えないですが教えてください。

同様に
y=(x+1)/e^xの変曲点B(1,2/e)における直線y-2/e=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-2/e=f'(1)(x-1)は点Bでy=(x+1)/e^xのグラフを切ってしまうので、接線のように
見えないですが教えてください。

No.82646 - 2022/07/04(Mon) 21:53:23

Re: 変曲点における接線 / X
ある曲線C上の点Aにおける接線lについて、
C上の点Aとは異なる点BでCとlが交わって
いても、lが
「点Aにおける」Cの接線
であることに変わりはありません。

No.82659 - 2022/07/05(Tue) 19:17:44

Re: 変曲点における接線 / TOM
すみませんが、「ある曲線C上の点Aにおける接線lについて、
C上の点Aとは異なる点BでCとlが交わっていない場合」
で以下のものについて教えてください。

y=(x-1)^3の変曲点A(1,0)における直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aにおける接線ですか。
直線y-0=f'(1)(x-1)は点Aでy=(x-1)^3のグラフを切ってしまうので、接線のように見えないですが教えてください。

No.82660 - 2022/07/05(Tue) 20:33:21
中学数学:図形 / 山田山
?Cと?Dの行間が分かりません。解説をお願いします。
No.82643 - 2022/07/04(Mon) 14:33:05

Re: 中学数学:図形 / 山田山
キーボードの関係上変な文章になってしまいました、すみません。アンダーラインとその上の行間を指しています。
No.82644 - 2022/07/04(Mon) 14:34:51

Re: 中学数学:図形 / ヨッシー
△ABF≡△EBC から
正方形BFGC=長方形BJKE が言えたのと同様に、
△ABI≡△ADC から
正方形CHIA=長方形ADKJ が言えるということです。

ちなみにキーボードのせいではなく、○数字が文字化けしただけです。

No.82645 - 2022/07/04(Mon) 14:56:21

Re: 中学数学:図形 / 山田山
回答ありがとうございます。
No.82672 - 2022/07/06(Wed) 14:18:19
ベクトル / Nao
こちらの問題、解答解説がなく、どうしても自力で解けません。
途中式含めた解答をお教えいただきたく、宜しくお願いいたします。

No.82637 - 2022/07/03(Sun) 22:13:20

Re: ベクトル / ヨッシー

図のように、座標平面上にOA=(1,0)、OB=(0,1) とすると、
Pの座標は(s, t)で表せます。あとは、
 s+2t≦2, s-2t≦2, t≦2
の領域が、Pの存在範囲となり、その面積は△OABの16倍となります。

No.82642 - 2022/07/04(Mon) 12:24:48

Re: ベクトル / Nao
ヨッシーさま

理解できました。
ありがとうございます!!

No.82647 - 2022/07/04(Mon) 23:54:18
高校3年 複素数の極形式 / めいぷる
z = 5・√(1 + i)を極形式で示したいのですが、行き詰まってます。できれば途中式を含めた解答をお願いしたいです。一応補足でiは虚数単位です。
No.82633 - 2022/07/03(Sun) 09:11:32

Re: 高校3年 複素数の極形式 / ヨッシー
r・e=√(1+i)
とすると、2乗して
 r2・e2iθ=1+i=√2eiπ/4
または
 r2・e2iθ=1+i=√2e9πi/4
よって、
 r=21/4、θ=π/8 または 9π/8

あとは、rに5を掛ければ、zになります。 
 

No.82635 - 2022/07/03(Sun) 18:07:37

Re: 高校3年 複素数の極形式 / めいぷる
ヨッシーさん、ありがとうございます!

理解することができました!

No.82641 - 2022/07/04(Mon) 08:26:13
a^4=b^5+4 / 大西
a^4=b^5+4を満たす3以上の素数(a,b)の組を求めよという問題なのですが、
解が存在しなさそうな気がします。
解が存在しないならばそれを示したいのですが、うまくいかないです。
解き方を教えてください。

No.82627 - 2022/07/03(Sun) 00:04:58

Re: a^4=b^5+4 / IT
a^4=b^5+4
∴(a^2+2)(a^2-2)=b^5
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2 or a^2+2=b^4,a^2-2=b
はしょって、a^2+2=b^3,a^2-2=b^2
∴b^3-b^2=4
∴b=2 不適

No.82628 - 2022/07/03(Sun) 01:12:02

Re: a^4=b^5+4 / 大西
ありがとうございます。
理解できました。

No.82632 - 2022/07/03(Sun) 08:38:35
ベクトル / Nao
添付の2問がわかりません。
解答解説がなく、正答がわからず、どなたか途中式含め正答をお教えいただけないでしょうか。

No.82626 - 2022/07/02(Sat) 23:28:11

Re: ベクトル / IT
(4)の大まかな流れ(x,y,z>0 などの条件は記述を略してます)
2/x+1/y+1/z=1 よりx=2yz/(yz-(y+z))
∴w=2yz/(yz-(y+z))+y+z

yzが一定のときy+zが最小となるのはy=zのときなので
wが最小となるのはy=zのときで
w=2y^2/(y^2-2y)+2y=4/(y-2)+2(y-2)+6
これが最小となるのはy-2=√2のとき(∵相加相乗平均の関係)
すなわちy=2+√2のとき・・・

これもベクトルの応用問題で下のXさんの解法が良いですね。

No.82629 - 2022/07/03(Sun) 06:13:46

Re: ベクトル / X
(4)の別解
条件から
↑a=(√x,√y,√z)
↑b=(√(2/x),1/√y,1/√z)
なる↑a、↑bを置くことができます。
このとき
(|↑a||↑b|)^2≧(↑a・↑b)^2
(不等号の下の等号は↑a//↑bのとき成立 (P))
∴(x+y+z)(2/x+1/y+1/z)≧(√2+2)^2 (A)
(A)に
2/x+1/y+1/z=1 (B)
を代入すると
x+y+z≧6+4√2
∴x+y+zの最小値は6+4√2
このとき(P)より
↑a=k↑b (kは0でない定数)
と置くことができるので
√(2/x)=k√x (C)
1/√y=k√y (D)
1√z=k√z (E)
(B)(C)(D)(E)を連立して解き
(x,y,z)=(2+2√2,2+√2,2+√2)

No.82630 - 2022/07/03(Sun) 07:22:52

Re: ベクトル / Nao
ITさま、Xさま

ありがとうございます!
ご丁寧な解説のお陰で(4)は理解できました。

(3)は相変わらず自力では解くことができません。。
同様に解法、正答をお教えいただけると助かります。

どうぞ宜しくお願いいたします。

No.82634 - 2022/07/03(Sun) 14:30:54
2次関数 / みりん
2次関数の面積比の問題が分かりません。
ご教授お願いいたします。

No.82625 - 2022/07/02(Sat) 23:02:09

Re: 2次関数 / みりん
こちら解決しました。
No.82636 - 2022/07/03(Sun) 21:41:56
面積分における領域の範囲 / 大学数学
平面 2x+2y+z=2 が座標軸と交わる点A,B,Cを頂点とする三角形の領域をSとする.
この条件から,x,y,zの範囲を出さないといけないと思うのですが,どうすればいいですか?

No.82623 - 2022/07/02(Sat) 18:26:38

Re: 面積分における領域の範囲 / 大学数学
すいません.分かりました.x軸との交点を出すにはy,z=0を代入すればいいんですよね.
No.82624 - 2022/07/02(Sat) 18:29:14
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