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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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数値解析の問題です NEW / かぶちん
非線形方程式x-e^x=0について、2分法とニュートン・ラプソン法を用いて、近似解を求め、反復回数に関して考察せよ。
また、初期値の違いによる反復回数の違いについても考察せよ。
という課題が出されたのですが難しくて解けません、誰か教えてください。

No.77055 - 2021/07/30(Fri) 00:02:57

Re: 数値解析の問題です NEW / らすかる
x-e^x=0は実数解を持ちませんが、複素数の話ですか?
No.77059 - 2021/07/30(Fri) 07:07:19
(No Subject) NEW / 数学苦手
こちらの問題について質問です。
No.77053 - 2021/07/29(Thu) 23:59:44

Re: NEW / 数学苦手
7:20からX時間後で問題は解けないのでしょうか?
No.77054 - 2021/07/30(Fri) 00:01:37

Re: NEW / ヨッシー
解けます。
模範解答と同じ手順(ほぼ丸写し)で解けますので、
やってみてください。

No.77056 - 2021/07/30(Fri) 05:45:02
助けてください。 NEW / 大学
t を実変数とし, 時間を表すものとする. 動点 r(t) が x-y 平面の原点を中心とする半径
1 の円周上を運動している. 動点 r(t) の運動は次の条件を満たす:
・ r(0) = (1, 0).
・ 動点 r(t) の速さは 1 である.
・ 動点 r(t) は反時計回りに運動する.
下の条件を満たす有理数 a, b の例を挙げなさい.
・ 点 r(1/3)と点 (a, b) の距離が 1/1000より小さい

No.77050 - 2021/07/29(Thu) 22:53:54

Re: 助けてください。 NEW / ヨッシー
r(t)=(cost, sint) と書けるので、
 (cos(1/3), sin(1/3))
が、どのくらい近似できるか、という話かと思います。

No.77058 - 2021/07/30(Fri) 06:24:02
大学数学 フーリエ NEW / チャン
(1)(2)(3)を教えていただきたいです。
No.77049 - 2021/07/29(Thu) 22:48:34
(No Subject) NEW / kkk
x^(2)-4x+1=0の2つの解をα、βとする。(α>β)
このとき、すべての自然数nに対して[α^(n)]は奇数になる事を示せ。ただし、[α^(n)]はα^(n)以下の最大の整数を表す。

という問題が分かりません。ご教授ください。

No.77045 - 2021/07/29(Thu) 21:57:06

Re: NEW / らすかる
a[n]=α^n+β^nとする。
解と係数の関係からα+β=4, αβ=1なのでa[1]=4でこれは偶数
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=14なのでa[2]=14でこれも偶数
a[n]=α^n+β^n=(α+β){α^(n-1)+β^(n-1)}-αβ{α^(n-2)+β^(n-2)}=4a[n-1]-a[n-2]
から任意のnに対してa[n]=α^n+β^nは偶数
ところで0<β=2-√3<1だから任意のnに対して0<β^n<1
よって[α^n]=α^n+β^n-1=(奇数)

No.77051 - 2021/07/29(Thu) 22:55:34

Re: NEW / IT
(別解)
α,βを求めて計算する。
α^n+β^n=(2+√3)^n+(2-√3)^n
二項展開すると √3の奇数乗は消え、
残るのは(2+√3)^n側と(2-√3)^n側とで等しい整数なので
α^n+β^nは偶数。
後はらすかるさんと同じです。

なお、平方数でない自然数m、有理数a,bについて
a+b√mにたいしてa-b√mをa+b√mの共役元と呼んで
 (a+b√m)'=a-b√m  と書くと
 ((a+b√m)^n)'=((a+b√m)')^n
 (a+b√m)+(a+b√m)'=2a などの性質があります。

No.77052 - 2021/07/29(Thu) 23:43:10
領域を用いた不等式の証明について NEW / にゃんこ
赤ペンで書いたように円と直線の関係で解けますか?仮定が表す領域は円の内部なので、直線y=4x-3との位置関係を考えて解いてもいいのでしょうか?ダメならダメな理由も教えていただきたいです。
No.77042 - 2021/07/29(Thu) 21:02:08

Re: 領域を用いた不等式の証明について NEW / ヨッシー
y=4x−3 の yと、x^2+y^2 のyに
何の関連もないのでダメです。
そもそも、y=4x−3 は x^2+y^2=1 より下にありません。

No.77057 - 2021/07/30(Fri) 06:09:16
(No Subject) NEW / 源静
大学生です。
解答はのっているのですが解き方が思いつかなくて詰んでます。どう解いていったらよいか教えて下さい。

No.77040 - 2021/07/29(Thu) 20:24:35

Re: NEW / X
次のキーワードでネット検索してみて下さい。
二項積分

No.77041 - 2021/07/29(Thu) 21:00:30

Re: NEW / 関数電卓
飛び道具 を使うと,不定積分は
 ∫√(x^2+1)/x・dx=√(x^2+1)−tanh-1(√(x^2+1)+C
となるようです。
これを定積分にした場合,お書きの <解答> のような形にするには,与式において
 x=(e^u−e^(-u))/2
と置換すると,うまくいきます。

No.77043 - 2021/07/29(Thu) 21:10:04

Re: NEW / 源静
お二人ありがとうございます。やってみます。
No.77046 - 2021/07/29(Thu) 21:58:29

Re: NEW / IT
x=tanθとおくと

∫√((x^2+1)/x^2)dx
=∫1/((sinθ)(cosθ)^2)dθ

t=cosθとおくと
=-∫1/((1-t^2)t^2)dt
=-∫{1/(2(1-t))+1/(2(1+t))+1/t^2}dt
=(1/2)log|1-t|-(1/2)log|1+t|+1/t

ここで t=1/√(x^2+1) を代入する。 でできるのでは?

係数などは確認してください。 検算してないので間違っているかもしれません。

No.77047 - 2021/07/29(Thu) 22:26:48
ブロック行列 / 出水
Pが正則であることを示す問題なのですが、あっていますか?
No.77030 - 2021/07/28(Wed) 22:00:38

Re: ブロック行列 NEW / ヨッシー
やり方は合っていると思いますが、「仮定すると」のくだりは
どうでしょうか?
P=(・・・) に対して、Q=(・・・)を考える。
 PQ=E、QP=E
よって、逆行列Qが存在し、Pは正則。
のように、事実の羅列だけでいいと思います。

No.77039 - 2021/07/29(Thu) 18:38:34
(No Subject) / kkk
自然数nについて、y≧nxおよびy≦2n^(2)-x^(2)を満たす格子点の総数をnで表せ。という問題において、求める格子点の個数が写真の先で求められる理由がわかりません。
詳しく教えてほしいです。お願いします。

No.77027 - 2021/07/28(Wed) 12:17:43

Re: / X
まず
問題の領域である
y≧nx,y≦2n^2-x^2
の境界線である
直線
y=nx

放物線
y=2n^2-x^2
の上の点で、x座標が整数であるものは
全て格子点であることに注意すると
問題の領域内の
直線
x=k (kは整数) (A)
上の格子点は
点(k,nk),(k,2n^2-k^2)
を端点としていますので、
点(k,nk)

点(k,2n^2-k^2)
の下側にあることに注意すると
(A)の上の格子点の数は
(2n^2-k^2)-nk+1

ここで
nx=2n^2-x^2
をxの方程式として解くと
x=-2n,n
となることから
格子点のx座標の範囲は
-2n≦x≦n
以上からご質問の式を得ます。

No.77028 - 2021/07/28(Wed) 19:09:43

Re: / 関数電卓
ご参考まで
No.77029 - 2021/07/28(Wed) 20:45:30

Re: NEW / kkk
納得しました。ありがとうございます。
因みに上記のΣ計算はどのようにしたら
良いでしょうか。具体的にお願いします。

No.77035 - 2021/07/29(Thu) 12:04:26

Re: NEW / 関数電卓
 Σ[k=−2n〜n](2n^2−k^2−nk+1) …(1)
j=k+2n と置くと k=j−2n
(1)=Σ[j=0〜3n](2n^2−(j−2n)^2−n(j−2n)+1)
  =Σ[j=0〜3n](−j^2+3nj+1) …(2)
(2)の第1項の和=−(1/6)3n(3n+1)(6n+1) …(3)
(2)の第2項の和=3n・(1/2)3n(3n+1) …(4)
(2)の第3項の和=3n+1 …(5) ← 3n ではないので注意 j=0 があるから
(3)+(4)+(5)=(1/2)(3n+1)(3n^2−n+2)

No.77036 - 2021/07/29(Thu) 14:28:33

Re: NEW / kkk
j=k+2n と置くところは何故、このように置くのでしょうか?
No.77037 - 2021/07/29(Thu) 16:25:26

Re: NEW / 関数電卓
> j=k+2n と置くところは何故
Σ[k=−2n〜n] のままでは,教科書にある
 Σ[k=1〜n]k=(1/2)n(n+1),Σ[k=1〜n]k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
等の公式がパッと使えませんよね。これらを使えるようにするための変換です。
さらに,
 Σ[j=0〜n]j=Σ[j=1〜n]j,Σ[j=0〜n]j^2=Σ[j=1〜n]j^2
で便利なので,j=k+2n としました。
上記したように
 Σ[j=0〜n]1=n+1 ← 1 を n+1 回加える
だけ注意が必要です。

No.77038 - 2021/07/29(Thu) 16:43:57

Re: NEW / kkk
ありがとうございます。理解できました。
No.77044 - 2021/07/29(Thu) 21:51:25
大学数学 フーリエ / チャン
(1) y(t)= δ(t + d) - δ(t)の概略図を描きなさい。
(2) y(t)のフーリエ変換Y1(ω)を求めなさい。
(3) x2(t)とy(t)のたたみ込みで与えられる信号z1(t)(=x2(t)*y(t))の概略図を描きなさい。x2(t)= { 1 , (0 < t < d) ,, 0 (t < 0, t > d)}です。
(4) z1(t)のフーリエ変換Z1(ω)を求めよ。
(5) z1(t)を積分して得られる信号z2(t)(積分範囲は-∞からt)の概略図を描きなさい。
(6) z2(t)のフーリエ変換Z2(ω)を求めなさい。

(1),(2),(3),(4)は解いたのですが正解なのかがわかりません。(5),(6)はわからないので教えていただきたいです。

No.77026 - 2021/07/28(Wed) 00:05:38

Re: 大学数学 フーリエ / X
(1)(2)(3)
問題ないと思います。
(4)
計算過程に問題はありませんが、もう少し簡単な式
にできます。
オイラーの公式を適用すると
Z[1](ω)=(2j/ω){1-cos(ωd)}

No.77031 - 2021/07/29(Thu) 05:58:39

Re: 大学数学 フーリエ / X
(5)
(3)の結果を積分して
z[2](t)=0(t<-d,d<t)
z[2](t)=t+d(-d≦t<0)
z[2](t)=-t+d(0<t≦d)

(6)
(4)の結果を使うと
Z[2](ω)={1/(jω)}Z[1](ω)=(2/ω^2){1-cos(ωd)}
注)
半角の公式を使えば、上記から更に
sinc関数
を使った形に変形してできますが
ここでは上記までの変形に
留めておきました。

No.77034 - 2021/07/29(Thu) 06:29:23

Re: 大学数学 フーリエ NEW / チャン
ありがとうございます。
(4)についてオイラーの公式を適用した際に(2j/ω)になるのがわかりません。計算過程を教えて頂きたいです。
(5)に概略図については(3)の図と形は変わりませんが合っていますか?

No.77048 - 2021/07/29(Thu) 22:38:36
(No Subject) / ut
ありがとうございます!
No.77025 - 2021/07/27(Tue) 21:19:46
行列 / キリンさん
4が分かりませんお教え頂きたいです
No.77019 - 2021/07/27(Tue) 16:20:43

Re: 行列 / 関数電卓
例えば こちら にあるように
連立方程式がただ1つの解をもつのは,係数行列 A の行列式 |A| が ≠0 のとき です。

No.77022 - 2021/07/27(Tue) 19:16:20

Re: 行列 / キリンさん
ありがとうございます。
No.77023 - 2021/07/27(Tue) 20:54:07
連立方程式 / ut
座標の計算をしていて,連立方程式が出てきたのですが解けません。よろしければ解き方を教えてください。解答は数値しか載っていなかったのですが複号同順で b1=-1/2, b2=+-(sqrt(3)/2), c1=-1/2, c2=-+(sqrt(3)2) でした。以下式です
b1^2+b2^2=1
c1^2+c2^2=1
-2-2b1-2c1=0
-2b2-2c2=0
4+b1^2+b2+c1^2+c2-k=0

No.77018 - 2021/07/27(Tue) 16:03:16

Re: 連立方程式 / ヨッシー
b1^2+b2^2=1 ・・・(1)
c1^2+c2^2=1 ・・・(2)
-2-2b1-2c1=0 ・・・(3)
-2b2-2c2=0 ・・・(4)
4+b1^2+b2+c1^2+c2-k=0 ・・・(5)
とおきます。

(1) より
 b1=cosθ, b2=sinθ
とおけます。(4) より
 c2=−b2=−sinθ
(2) より
 c1=±cosθ
(3) より
 b1+c1=−1
より、b1=c1=cosθ であり、
 b1=c1=−1/2
すると、再び(4)より
 b2=√3/2,c2=−√3/2 または
 b2=−√3/2,c2=√3/2
(5) より
 k=4+b1^2+b2+c1^2+c2=4+b1^2+c1^2=4+1/4+1/4=9/2
となります。

No.77020 - 2021/07/27(Tue) 17:45:51
行列の積 / 大学一年
写真の問題について、左辺の計算を行う問題です。
写真は私が解いたものなのですが、答えが間違っています。
略解しか持っておらず、どこで間違っているのか分からないので教えていただきたいです。
正しい答えは
-12 -12 17
13 -14 22
-16 -13 -13
です。

No.77013 - 2021/07/27(Tue) 15:20:02

Re: 行列の積 / ヨッシー
左辺の大きなカッコは、ただの足し算(引き算)ですよね。
No.77015 - 2021/07/27(Tue) 15:42:31

Re: 行列の積 / 関数電卓
ケアレスミスがもう1つ!
No.77016 - 2021/07/27(Tue) 15:45:24

Re: 行列の積 / 大学一年
お二人ともありがとうございます。
すごくバカなミスで恥ずかしいです...... 。

No.77017 - 2021/07/27(Tue) 15:47:53
連投すいません / ぴーたろー
儖ABにおいて(→OA)=(→a),(→OB)=(→b)とし、|→a|=6,|→b|=3,|(→a)-(→b)|=7とする。また、∠AOBの二等分線と辺ABの交点をCとする。
(1)(→a)・(→b)を求めよ。 →-2
(2)(→OC)=m(→a)+n(→b)とするとき、m,nを求めよ。→m=1/3,n=2/3
(3)CからOAに引いた垂線をCHとする。
(i)(→OH)=k(→a)と表すときkを求めよ。
(ii)儖CHの面積は儖ABの面積の何倍となるか

(2)までは→の答えを出せましたが(3)が謎です。よろしくお願いいたします。

No.77007 - 2021/07/27(Tue) 10:05:26

Re: 連投すいません / ヨッシー
(i)
△OABにおける余弦定理より
 cosA=(36+49−9)/2・6・7=19/21
よって、
 AH=AC・cosA=(14/3)(19/21)=38/9
 OH=6−38/9=16/9=k・OA
よって
 k=8/27

(ii)
 2/3×8/27=16/81 (倍)

No.77009 - 2021/07/27(Tue) 10:26:14
高3です / ぴーたろー
aを定数とし、関数f(x)について次の条件を考える
f(x)=x∫(0→1){f(t)-a}^2dt
(1)a=4/3のとき、条件を満たす関数f(x)を全て求めよ。
(2)条件を満たす関数f(x)が存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
(3)条件を満たす関数f(x)がただ1つ存在するような定数aの値と関数f(x)を求めよ。

(1)はf(x)=x+5/3と出ました
(2)以降お願いします。

No.77006 - 2021/07/27(Tue) 09:58:54

Re: 高3です / ast
# 方針: (1) が解けるなら a を未知定数のまま残しても (1) と同じ論法で f(x) は求まるはず.

条件式中の積分は x に関係しない定数 (ただし a には依存する) になるので, 定石どおりに m(a):=∫[0,1] (f(t)-a)^2 dt と置くと f(x)=m(a)x と書けるから m(a) が決まれば f(x) も決まり逆もまた然り.
またこのとき, もとの条件式は f(x) = x ∫[0,1] (m(a)t-a)^2 dt = x(a^2-a*m(a)+m(a)^2/3), したがって m(a)=a^2-a*m(a)+m(a)^2/3 だから m(a)= ((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2.
 (1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2.
 (2) √(-3a^2+18a+9) が実数であるような a の範囲 3-2√3 < a < 3+2√3 で f(x)= (((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2)x は存在する.
 (3) 同様に √(-3a^2+18a+9) が 0 となる a=3±2√3 で m(a) は一意, したがって f(x) も一意.

# あ, 質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」と一致しなかったので
# 何か思い違いしたかもしれないけど, チェックするの面倒なのでそのまま投稿しますね……

No.77010 - 2021/07/27(Tue) 12:51:26

Re: 高3です / IT
astさんの 
 >(1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2 
は、合っているようです。
>質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」
は、あり得ないですね。
f(x)=x×定数 でないとおかしいですね。

No.77024 - 2021/07/27(Tue) 21:09:53
(No Subject) / 大学2年生
こちらの問題なのですが、最後、任意定数はC>0の制限がつくべきではないですか?
No.77005 - 2021/07/27(Tue) 09:47:24

Re: / 大学2年生
C≧0でした。つまりC<0は不適ではないか?という疑問です。
No.77008 - 2021/07/27(Tue) 10:06:45

Re: / 関数電卓
古い本で恐縮ですが,私の手許にある『微分方程式入門』(古屋茂,サイエンス社;1970)には
「任意定数と言っても全く任意でないこともある。ある区間の任意の値をとりうるような場合にも任意定数と言うことにする。」
とあります。
あまり些末なことに気を煩わせなくて良いですよ,と言うことだと思います。

No.77014 - 2021/07/27(Tue) 15:29:19

Re: / 大学2年生
なるほど。ほとんどの教材で任意定数の扱いが雑でモヤモヤしていたのですが、スッキリしました。ありがとうございます。
No.77021 - 2021/07/27(Tue) 18:08:18
相似な三角形について / 中3数学
解説に記載されているこの2つの三角形がなぜ相似になるのか証明ができません。

分かる方解説お願いいたします。

No.77002 - 2021/07/26(Mon) 21:10:31

Re: 相似な三角形について / ヨッシー
●=△ だからですね。
No.77003 - 2021/07/26(Mon) 21:14:41

Re: 相似な三角形について / IT
中3数学さん ∠ACE=∠ABC は、それまでに云えているのですか?
No.77004 - 2021/07/26(Mon) 21:16:47
計算について/社会人 / 高橋
下記の計算式をどう出せば良いのかわからないのでご教授いただきたいです。
問題集などの計算ではないので少し分かりにくいかもしれません。。

前提:
トラック1台の積み込みにかかる時間:12分
トラック1台の積み下ろしにかかる時間:15分
トラックの輸送時間:1:30(固定)
着車バース:トラックから積み下ろし、積み込みができる箇所
積み下ろしの終了時間:9:30(固定)

9時30分までにトラックからの積み下ろしを完了させる必要があるのですが、トラックの台数、着車バース(積み込み時と積み下ろし時に使用する場所それぞれ)の数は変動します。

その場合に何時にトラックの積み込みを開始、何時までに終わらせる必要があるのかを出したいのですが、着車バースの数によってトラックの待機時間も考慮して算出したいのですが可能でしょうか。添付の緑の数値は変動、黄色い部分に数式を入れたいと考えています。

ご教授のほどよろしくお願いいたします。

No.76994 - 2021/07/26(Mon) 15:07:54

Re: 計算について/社会人 / 高橋
着車バースが説明不足だったので補足させていただきます。

着車バースの数=一回で積み下ろし/積み込みができるトラックの台数となります。
着車バースが1箇所のみの場合は、積み込みの場合は1台目が12分かけて積み込みを終わったのちに、2台目が積み込みを開始できます。2箇所の場合は2台同時に積み込みができるとなります。

No.76995 - 2021/07/26(Mon) 15:11:14

Re: 計算について/社会人 / ヨッシー
ピッタリ計算通りに行くかはわかりませんが、
積み込み側の着車バース÷12 と 積み下ろし側の着車バース数÷15
を比べて、小さい方が能力がないことになります。

積み込み側に能力がない場合、積み込み側は
 9:30−0:15−1:30=7:45 ・・・ 積み込み終了時間
に、最終便が出るようにしないといけなく、それより前は、フル稼働にしないといけません。
 roundup(ドラック台数÷着車バース数) × 12 を積み込み最終時間から引いたものが
積み込み開始時間となります。
一方、積み下ろし側は、
 roundup(トラック台数÷着車バース数) × 15 を 9:30 から引いたもの
または、
 積み込み開始時間+0:12+1:30
が、積み下ろし開始時間となります。
前者は、トラックが来ても、待たせておける場合、後者は、トラックが来たら、すぐに下ろして
帰す場合です。前者のほうが開始時間は遅いです。

一方、積み下ろし側に能力がない場合、
 roundup(トラック台数÷着車バース数) × 15 を 9:30 から引いたもの
が、積み下ろし開始時間となります。
 積み下ろし開始時間−1:30−0:12 ・・・積み込み開始時間
に着手する必要があり、
 積み込み開始時間+roundup(ドラック台数÷着車バース数) × 12
または
 9:30−0:15−1:30=7:45
が積み込み終了時間となります。
前者は、トラックが来ても、待たせておける場合、後者は、トラックが来たら、すぐに下ろして
帰す場合です。前者のほうが終了時間は早いです。

No.76996 - 2021/07/26(Mon) 17:05:12

Re: 計算について/社会人 / ヨッシー
roundup は整数位への切り上げを表します。
No.76997 - 2021/07/26(Mon) 17:05:55

Re: 計算について/社会人 / 高橋
ヨッシー様

ありがとうございます!すごく綺麗に計算できました!!

ずっと計算が合わず悩んでいたので、本当に助かります。

ありがとうございました!

No.76998 - 2021/07/26(Mon) 18:05:46
割合 / 一般中学生
この問題がよく分かりません。
No.76988 - 2021/07/26(Mon) 12:34:09

Re: 割合 / ヨッシー
中学生なので、方程式でいいのかな?

原価をx円とすると、
定価はx+100円
売値は 0.9(x+100)=0.9x+90
利益は 0.9x+90−x=90−0.1x
これが原価の5分に当たるので、
 90−0.1x=0.05x
 0.15x=90
これを解きます。

No.76989 - 2021/07/26(Mon) 12:49:57
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