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ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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質問される方は学年（質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


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★ なす角 / John
理解できました
ありがとうございます
No.90512 - 2025/08/18(Mon) 00:12:10
★ (No Subject) / ゆの
sin^7tは2倍角や3倍角の公式から変換？できますか？
できるのであれば解答を教えてください。
No.90504 - 2025/08/17(Sun) 11:49:03
☆ Re: / X
次数落としですね。

3倍角の公式より
sin3t=3sint-4(sint)^3
∴(sint)^3=(3sint-sin3t)/4 (A)
半角の公式により
(sint)^2=(1-cos2t)/2 (B)
(A)(B)より

(sint)^7={(3sint-sin3t)/4}{(1-cos2t)/2}^2
=(1/16)(3sint-sin3t){1-2cos2t+(cos2t)^2}
=(1/16)(3sint-sin3t){1-2cos2t+(1+cos4t)/2}
=(1/32)(3sint-sin3t)(3-4cos2t+cos4t)
=…
(展開して積和の公式を使います。がかなり煩雑ですね。)

参考)
もし
∫{(sint)^7}dt
を計算する過程で必要という話なら
次数落としをするよりも
(sint)^7={{1-(cost)^2}^3}sint
と変形した上で
cost=u
と置いた置換積分を計算した方が早いです。
No.90506 - 2025/08/17(Sun) 14:56:23
★ なす角 / John
高校数学2の問題です
黄色マーカーで囲った部分なのですが、θ'＝α+βではなく|αーβ|になるのはどうしてですか？
また、α、βの正負ではなく大小関係で決まるのはどうしてですか？
No.90499 - 2025/08/17(Sun) 10:54:45
☆ Re: なす角 / John
画像2枚目です
No.90500 - 2025/08/17(Sun) 10:55:38
☆ Re: なす角 / John
画像三枚目です
No.90501 - 2025/08/17(Sun) 10:56:05
☆ Re: なす角 / John
画像4枚目です
No.90502 - 2025/08/17(Sun) 10:56:31
☆ Re: なす角 / X
No.90500の添付写真の図のβの表記が紛らわしいですね。

図ではβが時計回りに正の値を取るように
捉えることもできますが、定義から
βは偏角、つまり、
反時計回りを正の向きとした角
ですので、図の場合は
β＜0
です。従って
θ=α+(-β)
=α-β
となります。
No.90507 - 2025/08/17(Sun) 15:08:48
★ フーリエ級数 / 大学数学難しい。
画像のような周期関数のフーリエ級数を求めたいのですが問題文が正確に思い出せません。
このような図の場合、周期は何になりますか？
また、問題文の想像つく方がいらっしゃいましたら教えてください。
適当に仮定して解いていただいても構いません。
とにかく解き方が知りたいです。
よろしくお願いします。
No.90496 - 2025/08/16(Sat) 20:49:20
☆ Re: フーリエ級数 / X
＞＞周期は何になりますか？
情報が足りないので、出題者にしか分からないと思います。

分からないのであれば、適当に波形の両端の
x座標を文字で置いて計算することになります

が、1になっている２つの区間の幅によって
計算の難度は変わります。

(i)
幅が等しいのであれば、問題の周期関数は
偶関数
となりますので、sinの係数は全て0になり、
cosの係数だけを定義に従って計算すること
になります。
波形の右端のx座標をr(r＞p/6)とすると
波形の周期は2rとなるので
cos{(nπ/r)x}の係数をa[n]とすると
a[n]=2・(1/r)∫[p/6→r]cos{(nπ/r)x}dx
=…

(i)'
特に1となっている区間の幅が２つともが
0となっている区間の幅の半分である
p/6
であるのなら、これはもっとも単純な矩形波を
平行移動したものになりますので、
よく知られている振幅1,周期２πの矩形波の
フーリエ展開である

g(θ)=(4/π){(1/1)sinθ+(1/3)sin3θ+(1/5)sin5θ+…}

をθ方向にπ/2、g(θ)方向に1だけ平行移動したものである

h(θ)=1+(4/π){(1/1)sin(θ-π/2)+(1/3)sin{3(θ-π/2)}+(1/5)sin{5(θ-π/2)}+…}

なるh(θ)を考えたうえで、周期が
2p/3
となるようにθをxに変数変換すれば、
求めるf(x)になります。


(ii)
上記(i)(i)'のいずれでもないのであれば、
問題の波形の左端、右端のx座標をそれぞれ
-q,r(q,r＞p/6,q≠r)
とすると、波形の周期Tは
T=q+r
となりますので、これを元に定義に従って
フーリエ級数の係数を計算していきます。
(被積分関数のsin,cosの係数が定数なので
まだいくらか計算はましですが、それでも
煩雑であることには変わりはありません。)
No.90498 - 2025/08/17(Sun) 09:32:15
☆ Re: フーリエ級数 / 大学数学難しい。
ご回答ありがとうございます。

頭の片隅にある記憶では、両端は-p/4,p/4もしくは-p/3,p/3だったような気がします。

もし両端が-p/4,p/4だったと仮定すると、周期はp/4+p/4なのか、p/4+p/6のどちらですか？

計算できる気がしません。

> ＞＞周期は何になりますか？
> 情報が足りないので、出題者にしか分からないと思います。
>
> 分からないのであれば、適当に波形の両端の
> x座標を文字で置いて計算することになります
>
> が、1になっている２つの区間の幅によって
> 計算の難度は変わります。
>
> (i)
> 幅が等しいのであれば、問題の周期関数は
> 偶関数
> となりますので、sinの係数は全て0になり、
> cosの係数だけを定義に従って計算すること
> になります。
> 波形の右端のx座標をr(r＞p/6)とすると
> 波形の周期は2rとなるので
> cos{(nπ/r)x}の係数をa[n]とすると
> a[n]=2・(1/r)∫[p/6→r]cos{(nπ/r)x}dx
> =…
>
> (i)'
> 特に1となっている区間の幅が２つともが
> 0となっている区間の幅の半分である
> p/6
> であるのなら、これはもっとも単純な矩形波を
> 平行移動したものになりますので、
> よく知られている振幅1,周期２πの矩形波の
> フーリエ展開である
>
> g(θ)=(4/π){(1/1)sinθ+(1/3)sin3θ+(1/5)sin5θ+…}
>
> をθ方向にπ/2、g(θ)方向に1だけ平行移動したものである
>
> h(θ)=1+(4/π){(1/1)sin(θ-π/2)+(1/3)sin{3(θ-π/2)}+(1/5)sin{5(θ-π/2)}+…}
>
> なるh(θ)を考えたうえで、周期が
> 2p/3
> となるようにθをxに変数変換すれば、
> 求めるf(x)になります。
>
>
> (ii)
> 上記(i)(i)'のいずれでもないのであれば、
> 問題の波形の左端、右端のx座標をそれぞれ
> -q,r(q,r＞p/6,q≠r)
> とすると、波形の周期Tは
> T=q+r
> となりますので、これを元に定義に従って
> フーリエ級数の係数を計算していきます。
> (被積分関数のsin,cosの係数が定数なので
> まだいくらか計算はましですが、それでも
> 煩雑であることには変わりはありません。)
No.90503 - 2025/08/17(Sun) 11:39:26
☆ Re: フーリエ級数 / X
＞＞もし両端が-p/4,p/4だったと仮定すると〜
周期はp/4+p/4です。
但し、この場合でも、No.90498での(i)のときに
当たりますので、計算は楽だと思います。
No.90505 - 2025/08/17(Sun) 14:45:24
☆ Re: フーリエ級数 / 大学数学難しい。
自分が周期という言葉の意味を理解していないのが原因だと思いますが、1と0が続いていくので周期はp/4+p/6になるのではと思ってしまいます。
なぜ、p/4+p/4になるのでしょうか。
No.90508 - 2025/08/17(Sun) 16:03:09
☆ Re: フーリエ級数 / X
私は添付写真のグラフ全体が一周期分
(つまり、右端の1の区間が、
左端の1の区間に接続する、の繰り返し)
という解釈で回答しています。

この解釈の場合、
左端がx=-p/4,右端がx=p/4
ですので周期は
p/4+p/4=p/2
です。

このとき
0の区間の長さはp/6+p/6=p/3
1の区間の長さは左右の区間の長さを合わせて
(p/4-p/6)+(p/4-p/6)=p/6
です。
No.90509 - 2025/08/17(Sun) 16:24:21
☆ Re: フーリエ級数 / 大学数学難しい。
理解しました。非常に助かりました。
ありがとうございます。

結果、このような式を立てましたが、あっていますか？
No.90510 - 2025/08/17(Sun) 16:43:37
☆ Re: フーリエ級数 / X
その計算で問題ないと思います。
No.90511 - 2025/08/17(Sun) 21:54:28
★ 標本平均の標準偏差 / カタ
かんき出版「データの分析と統計的な推測が1冊でしっかりわかる問題集」について質問させて頂きます。よろしくお願いします。
標本平均の標準偏差=母標準偏差/標本の大きさ^(1/2)
という公式があります。
これは例えば100個の標本を100回調べるより、1000個の標本を10回調べる方が母集団の情報を正確に推測できる、ということでしょうか?
No.90495 - 2025/08/15(Fri) 09:22:11
★ 掛け算の順序 / さとぽん
https://x.com/shinji_kono
この人、琉球大学工学部の元准教授なのですが、算数、数学の考え方がおかしいのではないかと、みなさんはどう考えられますか。
No.90493 - 2025/08/09(Sat) 04:29:14
★ 標本比率 / カタ
こんにちは。標本比率の公式を実感して理解するために自分で簡単な問題を作って解いてみました。ところが公式で出した答えと合わず困っています。よろしくお願いします。
赤玉5個、白玉10個の入った袋から玉を3個取って赤玉の比率を調べる。比率の平均と分散を求めよ。

標本比率の公式で、標本比率Rは正規分布N(p,p(1-p)/n)に従うとあるので、この公式に当てはめると、標本比率Rは正規分布N(1/3,2/27)に従うことになります。

公式を使わずにRの平均と分散を求めると、平均は1/3、分散は4/63になりました。平均はよいのですが、分散が2/27になるはずなのに4/63になってしまいます。何がおかしいのでしょう？
No.90488 - 2025/08/07(Thu) 17:54:41
☆ Re: 標本比率 / IT
E(R^2)= ・・・・(3/3)^2 ×(100/455) は ×(10/455)では？
No.90489 - 2025/08/07(Thu) 19:00:18
☆ Re: 標本比率 / カタ
ITさん、返信ありがとうございます。
質問用に書き直したのですが、その時に書き間違えました。10/455で計算したのですが4/63になってしまいます。標本比率というものの考え方が違っているのかもしれないと怪しんでいます。
No.90490 - 2025/08/08(Fri) 12:53:52
☆ Re: 標本比率 / IT
統計は苦手なので確かではないですが

標本比率の公式で、標本比率Rは正規分布N(p,p(1-p)/n)に従うには、
「nが十分大きいとき」という条件があり、また「近似的に従う」という記述ではありませんか？
No.90491 - 2025/08/08(Fri) 19:29:01
☆ Re: 標本比率 / カタ
ITさん、ありがとうございます。
やっぱり標本の大きさが小さいと使えない公式なんですね。上記の問題は私が作ったのですが、標本比率の問題は例えば「ある町の人の血液型は約2割がB型である。900人の献血者のうちの200人以上がB型である確率を求めよ」（数研サクシード2BCのp150）というのがあります。この問題だと公式を使って正解するのですが、公式を使わずに実際に標本比率の平均や標準偏差を求めるのは数が大きすぎて挫折してしまいます。
標本が十分大きくないと公式が使えないということがわかりました。ITさん、おつきあい頂きありがとうございました。
No.90492 - 2025/08/08(Fri) 23:42:52
★ (No Subject) / さや
すべての正の整数nについて、a[n]、b[n]は整数であり、

a[n+1]+b[n+1]=-a[n]、a[n+1]b[n+1]=b[n]

が成り立つ。数列{a[n]}、{b[n]}の組を全て求めなさい。

いろいろ質問がありますので、一つずつ解決させてください。

最初の質問です。
|a[n+1]||b[n+1]|=|b[n]|ですので、b[n]=0とb[n]≠0で場合分けが必要…と思いました。

答案作りで、b[n]=0の場合に、b[n+1]=0なので、a[n]は公比-1の等比数列と書いたら、このnはすべての整数のことなのか、ある整数についてのことなのか書かれていないみたいな指摘がされていました。
どういうことなのでしょう。b[n]=0なら、どんなnでもb[n]=0ということではないのでしょうか。
No.90473 - 2025/08/04(Mon) 17:38:30
☆ Re: / IT
> 答案作りで、b[n]=0の場合に、b[n+1]=0なので、a[n]は公比-1の等比数列と書いたら、このnはすべての整数のことなのか、ある整数についてのことなのか書かれていないみたいな指摘がされていました。
> どういうことなのでしょう。b[n]=0なら、どんなnでもb[n]=0ということではないのでしょうか。

指摘のとおりだと思います。
「b[n]=0の場合」 と書いたとき,ある正の整数n について、b[n]=0 なのか、
すべての正の整数について、b[n]=0 なのか、不明確です。

どちらかといえば、「（複数個あるかもしれないし０個かもしれない）ある正の整数n について、b[n]=0 の場合」と解釈する気がします。


どなたか、より正確な回答ができればお願いします。
No.90474 - 2025/08/04(Mon) 19:01:41
☆ Re: / らすかる
「b[n]=0の場合に、b[n+1]=0なので」とだけ書かれていたら、普通は
「ある（特定の）正整数nに対してb[n]=0ならばb[n+1]=0なので」
という意味に解釈されると思います。
なので、この文を見ただけだと
「b[n]とb[n+1]が0でもb[n+2]≠0だったらa[n]は公比-1の等比数列にならないんじゃないの？」
などと思ってしまいます。
「すべての正整数nに対してb[n]=0の場合」について書きたいのであれば、
このように書かないといけないと思います。
No.90476 - 2025/08/05(Tue) 01:46:34
☆ Re: / WIZ
より正確な回答ではないですが、私見を述べます。

問題文に「すべての正の整数nについて・・・」と明記されているのなら、
以降その都度「すべての正の整数」と断らなくても、「n」は「すべて(任意)の正の整数を表す」と私は解釈します。
同じ名前(記号)「n」を使い、文脈によって「特定の正の整数」を表すと解釈する方に違和感を感じます。

勿論、その都度「特定の」とか「任意の」と明記するに越したことはないですが、
1つの名前(記号)を複数通りに使う事は混乱の元になる気がします。
もし、「特定の正の整数」について書くのなら別の名前(記号)を用いて
「ある正の整数mについて・・・」とするべきだと思います。
No.90477 - 2025/08/05(Tue) 08:54:42
☆ Re: / さや
回答者の皆様、ありがとうございます。

私の答案の場合、仮に、

「すべての正の整数nに対して、b[n]=0の場合に、b[n+1]=0」

と書いてしまうと、a[n+2]=a[n]かつb[n+2]=b[n]またはb[n+2]=a[n]かつa[n+2]=0と続けなければならないのに、勝手にb[n+2]=a[n]かつa[n+2]=0の場合を排除しているため、すべての正の整数と書いていてもそもそも誤りだったということでしょうか。

ちなみに、b[n]=0かつa[n]が公比-1の等比数列なら、すべての正の整数nで、a[n]とb[n]は整数なので、都合がよいのですが、b[n]=b[n+1]=0、b[n+2]=a[n]の場合を別に考えるとなると、a[n+3]=±√-a[n]かつb[n+3]=∓プラス√a[n]が出てきてしまって、n+3以降のすべての整数で、数列が整数になり続けることがないとは思うのですが、それをどうやって書けばいいのかわからないです。

b[n]=b[n+1]=0、b[n+2]=a[n]の場合はないと思うのですが、どうやってそれを示すのでしょうか？
No.90478 - 2025/08/05(Tue) 11:50:19
☆ Re: / らすかる
b[m]=0,b[m+1]=t≠0とすると
a[m+1]=0, a[m]=-t
このとき
a[m+2]+b[m+2]=0 かつ a[m+2]b[m+2]=t
2式からt=-(a[m+2])^2となるので-tは平方数
a[m+2]=u≠0としてt=-u^2とおく。
このときb[m+2]=-u
すると
a[m+3]+b[m+3]=-u かつ a[m+3]b[m+3]=-u
これを満たすためには
a[m+3]=b[m+3]=2, u=-4 （∵u≠0）
そうすると
a[m+4]+b[m+4]=-2, a[m+4]b[m+4]=2
となるが、これを満たす整数は存在しない。
従ってあるmに対してb[m]=0ならばb[m+1]=0であり、
与式から明らかにb[m-1]=0でもあるから、
あるmに対してb[m]=0ならばすべてのmに対してb[m]=0となる。
No.90479 - 2025/08/05(Tue) 14:16:55
☆ Re: / さや
回答者様、ありがとうございます。よくわかりました。

a[m+3]+b[m+3]=-uかつa[m+3]b[m+3]=-uから、a[m+3]=b[m+3]=2を求めるのに、a[m+3]b[m+3]=a[m+3]+b[m+3]なので、(a[m+3]-1)(b[m+3]-1)=1とするしか思いつかなかったのですが、回答者様は暗算されたのでしょうか？

a[m+4]やb[m+4]まで調べる必要があるなんて、難し過ぎませんか…？

一つ目の疑問が解決しましたので、b[n]≠0の場合の質問を次の返信フォームで質問させてください。
No.90480 - 2025/08/05(Tue) 18:00:46
☆ Re: / さや
b[n]≠0の場合、a[n+1]≠0かつb[n+1]≠0

（答案では書いていませんでしたが、こちらはすべての正の整数としてしまってよいでしょうか？もし、b[m]=0となるようなことがあれば、すべてのmでb[m]=0になることが、前の回答者様の回答から言えるため）

|a[n+1]|は正の整数であるため、|b[n]|/|b[n+1]|≧1です。

|b[n]|はnが大きくなるたびに小さくなるため、|b[n]|が正の整数なので、最小値Lが存在し、|b[∞]|=L。

|b[n]|=Mとすると、|b[n]|、|b[n+1]|、…、|b[∞]|はMからLまで減少するので、途中で、|b[n]|=|b[n+1]|=Lとなり、これ以降は常に|b[n]|=Lと書きました。

指摘されたのは、「最小値Lが存在し、|b[∞]|=L」と「途中で、|b[n]|=|b[n+1]|=L」の2か所です。

最小値が存在することを勝手に言ってはいけない、有限や無限などのキーワードを使うようにとのことです。

正の整数の範囲で減少する数列が最小値を持つと考えるのは誤りなのでしょうか。

無限は|b[∞]|のことでいいと思いますが、有限の使い方がわからないです。この場合の有限は何のことでしょうか。

|b[n]|=|b[n+1]|の場合ですが、答案ではnを使いましたが、ここではある正の整数mに変更して、|b[m]|=|b[m+1]|とすべきでしょうか？

答案では、b[n]=b[n+1]とb[n]=-b[n+1]に場合分けをしまして、やはり勝手にすべての正の整数としていました。
そのため、b[n]=b[n+1]の場合は、b[n+1]=b[n+2]でもありと続けてしまい、ここから(a[n],b[n])=(1,-2)が出てきますが、これで終わらせてしまいました。
b[n+1]=b[n+2]またはb[n+1]=-b[n+2]と場合分けをしておかなければ、やっぱりだめでしょうか？

b[n]=-b[n+1]の方も、b[n+1]=-b[n+2]としてしまったのですが、こちらも、b[n+1]=b[n+2]の場合を調べる必要がありますか？

前の回答者様の最後の部分を見る限り、調べる範囲は、n=m、m+1、m+2の三つの項の間だけでよいでしょうか？
No.90481 - 2025/08/05(Tue) 18:39:48
☆ Re: / IT
> b[n]≠0の場合、a[n+1]≠0かつb[n+1]≠0

>（答案では書いていませんでしたが、こちらはすべての正の整数としてしまってよいでしょうか？

文脈から判断することも多いので、答案全体を見ないと、有効な回答が難しいと思います。
No.90482 - 2025/08/05(Tue) 19:12:08
☆ Re: / IT

> |a[n+1]|は正の整数であるため、|b[n]|/|b[n+1]|≧1です。
>
> |b[n]|はnが大きくなるたびに小さくなるため、|b[n]|が正の整数なので、最小値Lが存在し、|b[∞]|=L。
>
> |b[n]|=Mとすると、|b[n]|、|b[n+1]|、…、|b[∞]|はMからLまで減少するので、途中で、|b[n]|=|b[n+1]|=Lとなり、これ以降は常に|b[n]|=Lと書きました。
>
> 指摘されたのは、「最小値Lが存在し、|b[∞]|=L」と「途中で、|b[n]|=|b[n+1]|=L」の2か所です。
>
> 最小値が存在することを勝手に言ってはいけない、有限や無限などのキーワードを使うようにとのことです。
>
> 正の整数の範囲で減少する数列が最小値を持つと考えるのは誤りなのでしょうか。

そう考えるのは正しいですし、実際正しいですが、指摘は、「それを証明すべき」ということかなと思います。
私は、限られた時間で作成する大学入試の答案であれば、証明せずに使って良いと思います。
No.90483 - 2025/08/05(Tue) 19:38:05
☆ Re: / IT

> |a[n+1]|は正の整数であるため、|b[n]|/|b[n+1]|≧1です。
>
> |b[n]|はnが大きくなるたびに小さくなるため、|b[n]|が正の整数なので、最小値Lが存在し、|b[∞]|=L。

|b[n]|はnが大きくなるたびに小さくなるため
「小さくなる」は、間違いですね。等しい場合もあります。

最小値Lの存在証明
任意の正整数ｋについて,|b[k]|≧0 である。
任意の正整数ｋについて,|b[k]|≧i となるような0以上の整数i全体からなる集合Sを考えると,0∈S⊂{0,1,2,...,M} である。
Sは空でない（要素数が高々M+1個の）有限集合なので、Sには最大値がある。これをLとする、
No.90484 - 2025/08/05(Tue) 20:00:34
☆ Re: / IT
|b[n]|=Mとすると、|b[n]|、|b[n+1]|、…、|b[∞]|はMからLまで減少するので、途中で、|b[n]|=|b[n+1]|=Lとなり、これ以降は常に|b[n]|=Lと書きました。

文脈から　言いたいことは分りますが、ここでの n の使い方は、少し気になります。
No.90485 - 2025/08/05(Tue) 20:35:39
☆ Re: / IT
> |b[n]|=Mとすると、|b[n]|、|b[n+1]|、…、|b[∞]|はMからLまで減少するので、途中で、|b[n]|=|b[n+1]|=Lとなり、これ以降は常に|b[n]|=Lと書きました。
>
> 最小値が存在することを勝手に言ってはいけない、有限や無限などのキーワードを使うようにとのことです。
>

> 無限は|b[∞]|のことでいいと思いますが、
指摘した先生に聞いて見られないと確実ではないですが、違うと思います。
|b[∞]|　とは、lim(n→∞)|b[n]|　のことですよね　、これの存在を示さないとダメだと先生は指摘しているのでは？
No.90486 - 2025/08/06(Wed) 06:56:20
☆ Re: / IT
> |b[n]|はnが大きくなるたびに小さくなるため、|b[n]|が正の整数なので、最小値Lが存在

を示すのは、No.90484　のように回りくどく書かなくても

「数列{|b[n]|}は、単調減少数列で各値は|b[1]|以下０以上の整数なので
そのすべての値からなる集合は、有限集合なので最小値を持つ、この最小値をLとする・・・」で良いかも知れません。
No.90487 - 2025/08/06(Wed) 20:16:09
★ 東京都教員採用試験 / 20
令和4年度選考(5年度採用)の東京都教採の問題です。情けないことに問1から分からず、困っています。どなたか解説をお願いいたします。

ちなみに答えは
問1 2/3
問2 (8√11)/9
問3 2/9,(8√7)/27
です。
No.90469 - 2025/08/01(Fri) 17:09:23
☆ Re: 東京都教員採用試験 / IT
問1
OHを通り、BC　などに直交する平面での断面図を描いて見てください。
三角形の相似比を２組　使うと計算できると思います。
No.90470 - 2025/08/01(Fri) 19:39:23
☆ Re: 東京都教員採用試験 / IT
三角形の相似比を使って
x:1 = (1/2)OH- xOH :(1/2)OH
x:1 = 1/2-x: 1/2
x/2 = 1/2-x
∴x=1/3
No.90471 - 2025/08/01(Fri) 22:31:30
☆ Re: 東京都教員採用試験 / 20
ご返答ありがとうございます！
相似の三角形を2組使うのですね！
理解いたしました、ありがとうございます！
No.90472 - 2025/08/03(Sun) 03:22:15
★ 数?Vを使わない微分問題 / ぼぶ
誘導がついているのですが
いまいちどう解くのか謎です

画像が切れてるかもしれませんが
（３）はf(x)=0を満たす実数ｘを　求める問題です　答えは１つのようです

あとf(0)は0にはならないという条件があります
No.90466 - 2025/08/01(Fri) 03:08:13
☆ Re: 数?Vを使わない微分問題 / ヨッシー
f(x)−ｘ^3＋4x^2 がｎ次式であるとする。
このとき、左辺は 2n 次式、右辺は ｎ＋１次式であるので、
　２ｎ＝ｎ＋１
より、ｎ＝１。ここで、
　f(x)＝ｘ^3−4x^2＋ax＋b　(a, b は実数、a≠0、b≠0)
とおく。

このとき、
　（左辺）＝(ax＋b)^2＝a^2x^2＋2abx＋b^2
　（右辺）＝８∫[4〜x](at＋b)dt＝８[at^2/2＋bt][4〜x]
　　　　＝８(ax^2/2＋bx−8a−4b)＝4ax^2＋8bx−64a−32b
これらより、
　a^2＝4a、2ab＝8b、b^2＝−64a−32b
これらを解いて、ａ＝４、ｂ＝−１６

よって、
　f(x)＝ｘ^3−4x^2＋4x−16
となり、
　f(x)＝(x−4)(x^2＋4)
と因数分解でき、実数解は、ｘ＝４

これから、34〜42？ を拾ってください。
No.90468 - 2025/08/01(Fri) 14:30:13
☆ Re: 数?Vを使わない微分問題 / ぼぶ
ありがとうございます
f(x)＝ｘ^3−4x^2＋ax＋b　(a, b は実数、a≠0、b≠0)
とおく。　のところですが
こういうふうに置く発想はどういう流れでしょうか
No.90494 - 2025/08/09(Sat) 16:56:59
☆ Re: 数?Vを使わない微分問題 / ヨッシー
f(x)−ｘ^3＋4x^2 が１次式とわかったので、
f(x)−ｘ^3＋4x^2＝ax＋b と置け、
f(x)＝ｘ^3−4x^2＋ax＋b を得ます。

１次式ではなく０次式（定数）の場合は、マル１は成り立たないので、ａ≠０、
f(0)≠0 なので、ｂ≠０ が条件として加わります。
No.90513 - 2025/08/18(Mon) 09:30:16
★ 大学数学 / Y
GandBさん見てたらお答えいただきたいです。

問題文
次の無限和の値を求めよ。ただしf(t)=t (-π<t<π)のフーリエ級数を用いよ。

7/9日にも画像と同じような問題を解いていただいたのですが、こちらの解き方も教えてください。

以前と同じやり方で解こうとしましたがうまくπが出てこず、解けません。
よろしくお願いします。
No.90461 - 2025/07/30(Wed) 01:23:42
☆ Re: 大学数学 / GandB
　　f(t)=t (-π<t<π)
のフーリエ級数展開を知っているのなら t=π/2 を代入するだけ。
　計算ミスがあったので再投稿。
No.90465 - 2025/07/30(Wed) 18:54:52
★ 積分式変形 / 積分分かりません。
画像の式変形が成り立つ理由を教えてください。
また似たような形で、積分内のxの符号が同じ場合はどうなるかも教えていただきたいです。
(なぜ2が前に出てきたのか、-xはどこにいったのかなど。)
よろしくお願いします。
No.90460 - 2025/07/30(Wed) 00:48:45
☆ Re: 積分式変形 / ヨッシー
左辺の１項目の積分部分(1/2 以外の部分）を　ｕ＝−ｘ として置換積分すると、
　dx＝−du
積分範囲　−２≦ｘ≦０　は　２≧ｕ≧０　に対応
よって、
　（与式）＝∫[2〜0]ｕcos(ｎπｕ/２)(−du)
　　　＝∫[0〜2]ｕcos(ｎπｕ/２)du
これは左辺第２項の積分部分と同じであるので、右辺のようになります。
No.90463 - 2025/07/30(Wed) 08:56:59
★ グラフの書き方について / けい
数学グラフについて

f(t)=t^4 (-T/2<=t<T/2)
という周期関数のグラフを書けと言われた時に、T/2の点は黒丸か白丸どちらで描くのが正解ですか？
周期関数なので点が被ってくると思うのですが。
No.90457 - 2025/07/29(Tue) 19:54:09
☆ Re: グラフの書き方について / X
黒丸で問題ないと思います。
No.90458 - 2025/07/29(Tue) 23:32:15
☆ Re: グラフの書き方について / けい
ご回答ありがとうございます。
No.90459 - 2025/07/30(Wed) 00:44:36
★ 中1です / ぴーたろ
正解は53日とのことですが、このやり方の何が間違っているか教えてください！まず問題を貼ります
No.90451 - 2025/07/29(Tue) 12:48:35
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
問題です
No.90452 - 2025/07/29(Tue) 12:49:18
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
回答です
No.90453 - 2025/07/29(Tue) 12:50:34
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
読みづらいので打ちました。よろしくお願いいたします。

五月さんが何日間かかったかを考えて 80*5/3=133あまり1
より134日。
もし、弥生さんが毎日部活があったとすると、1週間で16ページ終わるので、360ページを完了するには 360/16=22あまり8となり、22×7日間=154日。のこりの8ページを祝日2日、平日1日で行うと3日間かかる。よって、157日。

ここで、弥生さんは134日間勉強をしているので、差の157₋134=23日分1ページ多くすればよい。

よって23ににち。
No.90454 - 2025/07/29(Tue) 15:23:44
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
模範解答はこちらです。私のやり方で何が間違っているのか知りたいです…。
No.90455 - 2025/07/29(Tue) 15:25:05
☆ Re: 中1です / ヨッシー
２２日とか２３日と言っているのは、余分に勉強すればいいという日数であり、
その間も、１日２ページとか３ページとかやっているので、およそ５０ページの
勉強をしないといけない。これを１日１ページずつ、部活の無い日で補おうというのですから、
部活なし日は５０くらいの日数になるはずです。

ぴーたろさんの方針でやるなら、
・・・・
22×7日間＝154
ここまででわかることは、毎日部活で154日勉強しても、８ページ余るということ。
この８ページと、154−134＝20（日）分の勉強を、
できるだけ少ない部活のない日でこなさないといけない。
20日の内訳は、
　土日６日、平日１４日　４６ページ
　土日５日、平日１５日　４５ページ
これに８を足すと　５４か５３で、より少ないのは、５３日
No.90456 - 2025/07/29(Tue) 16:52:30
☆ Re: 中1です / ぴーたろ
めっちゃわかりました！ありがとうございました！
No.90462 - 2025/07/30(Wed) 07:59:58
★ (No Subject) / やり直しメン
□6です

よろしくお願いします
No.90449 - 2025/07/27(Sun) 10:44:37
☆ Re: / ヨッシー
いろんな解き方があるでしょうが、その一例として捉えてください。

各段階において、縦方向に並んでいる頂点ごとに分けて個数を数えると
１回目：２＋１＋１＝４（個）
２回目：３＋２＋１＝６（個）
３回目：３＋２＋２＋１＋１＝９（個）
４回目：５＋４＋３＋２＋１＝１５（個）
５回目：５＋４＋４＋３＋３＋２＋２＋１＋１＝２５（個）
６回目：９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝４５（個）
７回目：９＋８＋８＋７＋７＋６＋６＋５＋５＋４＋４＋３＋３＋２＋２＋１＋１＝８１（個）
規則性を言葉で書くと、
偶数回目：１からｎまでの和。ｎは２回目３を起点として、４回目５，６回目９と、２倍して１を引く数となっている。
奇数回目：１からｎまでの和と１からｎ−１までの和の合計。ｎは直前の偶数のときのｎ。
よって、
８回目：１から１７までの和で、１５３（個）
９回目：１から１７までの和と、１から１６までの和で、１５３＋１３６＝２８９（個）
No.90450 - 2025/07/28(Mon) 09:06:39
★ 数?V積分について / あああ
∫(sinx/cos^3x)dxについて、やり方によって
{(tanx)^2}/2+Cと1/{2(cosx)^2}+C
の2つの答えが出てきました。どちらが合っているのでしょうか？また、どちらも合っているのでしょうか？
No.90443 - 2025/07/24(Thu) 13:25:11
☆ Re: 数?V積分について / あああ
cos^3xは(cosx)^3の間違いです
No.90444 - 2025/07/24(Thu) 13:32:55
☆ Re: 数?V積分について / ヨッシー
どちらも合っています。

　1/{2(cosx)^2}−{(tanx)^2}/2＝(1/2){1−(sinx)^2}/(cosx)^2
　　　＝(1/2){(cosx)^2//(cosx)^2}＝1/2 (一定)
となり、積分定数に吸収されます。

検算で、両方微分してみればいいでしょう。
No.90445 - 2025/07/24(Thu) 14:00:17
☆ Re: 数?V積分について / あああ
ありがとうございます！
積分定数に吸収させる変形ができなくて困っていたのですが、解決しました！
確かに微分すれば一瞬ですね
No.90446 - 2025/07/24(Thu) 14:15:20
★ y=F(x,y')の微分方程式について / ブレジョン1
写真の9-1(1)は非同次微分方程式y=2y'x+x²(y')⁴についてですが、
g(x,p,C)=0というパラメーター表示をするために(Cを式に含めるために)
2xy'+p=0に注目して、x=C/p²というパラメータ表示を得てますが、もうひとつの解てある、1+2xp²=0に注目して得られたy=-4/3(2x)^(2/3)という解は一体何なのでしょうか？特殊解と同じようなものですか？

写真: https://d.kuku.lu/8cr5ajm24

https://d.kuku.lu/6vn8673w2
No.90437 - 2025/07/23(Wed) 16:37:43
★ 図形と方程式 / さや
a＞0、b＞0とする。図形C、Dを以下のように定義する。

C:(a^2-1)x^2+2x+(a^2-1)y^2=1

D:(b^2-1)x^2+2y+(b^2-1)y^2=1

CとDが共有点を持つような(a,b)をab平面上に図示しなさい。

Cは直線x=1/2または(1/(1-a^2),0)を中心とする半径a/|1-a^2|の円で、Dは直線y=1/2または(0,1/(1-b^2))を中心とする半径b/|1-b^2|の円になると思います。

x=1/2とy=1/2は共有点を持つので、(a,b)=(1,1)は図示すべき範囲に含まれると思います。

(1/(1-a^2),0)を中心とする半径a/|1-a^2|の円と(0,1/(1-b^2))を中心とする半径b/|1-b^2|の円が共有点を持つ条件が複雑すぎて計算のやり方がわかりません。

方針としては二つの円の位置関係、

|Cの半径-Dの半径|≦CとDの中心間距離≦Cの半径+Dの半径

を使うのだと思いましたが、ものすごく大変なことになりますので、方針からして違う気が様な気がしてきました。

どうやって解くのが一番スマートなのか教えて頂けないでしょうか。
No.90431 - 2025/07/22(Tue) 08:50:38
☆ Re: 図形と方程式 / IT
C,Dが円のとき
C,D から x^2,y^2 を消去して　x,y の一次式（直線Lの方程式）を作り
CとL、DとLが共有点を持つ条件を考えてはどうですか？
No.90434 - 2025/07/23(Wed) 00:00:31
☆ Re: 図形と方程式 / さや
ご回答ありがとうございます。

＞C,D から x^2,y^2 を消去して　x,y の一次式（直線Lの方程式）を作り

Lの方程式は、

L:2(b^2-1)x-2(a^2-1)y+(a^2-b^2)=0

になると思います。

＞CとL、DとLが共有点を持つ条件

円と直線の位置関係を利用するのでしょうか。その場合、CとLが共有点を持つ条件として、Cの中心とLの距離≦Cの半径という形で立式するのだと思いますが、Cの中心(1/(1-a^2),0)とLの距離がものすごく複雑な計算になりませんか。とても遂行できる気がしないです。ご回答者様の計算を見てみたいです。

ちなみに、CとDの方程式の形から、CとLの場合だけ調べ、DとLの方は、b=aに関して対称にすれば計算しなくてもいいという考えは合っていますでしょうか。
No.90435 - 2025/07/23(Wed) 00:26:10
☆ Re: 図形と方程式 / IT
P(x,y) がCとLの共有点なら D上にもある　と思います。確認してみてください。

2(b^2-1)x-2(a^2-1)y+(a^2-b^2)=0　とC:(a^2-1)x^2+2x+(a^2-1)y^2=1　から　yを消去し、xの二次方程式にして　判別式を使うとどうですか？

（「Cの中心(1/(1-a^2),0)とLの距離がものすごく複雑な計算・・・」　とあまり変わらないかもしれません。
ご自分でやってみてください、

途中 s=a^2-1,t=b^2-1 とおいて　記述量を減らすと良いと思います）
No.90436 - 2025/07/23(Wed) 10:23:28
☆ Re: 図形と方程式 / さや
2(b^2-1)x-2(a^2-1)y+(a^2-b^2)=0とC:(a^2-1)x^2+2x+(a^2-1)y^2=1からyを消去すると、

4(s^2+t^2)x^2+4(-t^2+ts+2s)x+(-t+s+1)(-t+s-1)=0

(s=a^2-1、t=b^2-1)

になるかと思います。この判別式はとても解けるようのものではないように思えるのですが、何か計算にコツがあるのでしょうか？
No.90438 - 2025/07/23(Wed) 18:16:30
☆ Re: 図形と方程式 / IT
途中計算を確認していませんが、
s,t で考えても４次式になり　高校で習うような図形にはなりませんね。

問題の転記ミスはないですか？　出典は？
No.90439 - 2025/07/23(Wed) 20:23:27
☆ Re: 図形と方程式 / さや
＞問題の転記ミスはないですか？　出典は？

2011・名大理(改)と書かれています。

問題の転記ミスはありません。そのまま写しました。
No.90440 - 2025/07/23(Wed) 23:22:55
☆ Re: 図形と方程式 / 黄桃
中心間距離を使う最初の方針で計算すれば、多少面倒ですけど一直線のようです。
計算は、ITさんがおっしゃるように、a^2-1=s, b^2-1=t と置くと見通しがよくなるようです。

|a/|a^2-1|-b/|b^2-1|| ≦ √(1/(a^2-1)^2+1/(b^2-1))^2) ≦ a/|a^2-1|+b/|b^2-1|
を
|a/|s|-b/|t||<=√(1/s^2+1/t^2)<=a/|s|+b/|t|
と書き換え、両辺に|st|=√(st)^2 をかけて整理すれば
|a|t|-b|s||<=√(s^2+t^2)<=a|t|+b|s|
となりますから、2乗して比較すればよく、
(a|t|-b|s|)^2<=s^2+t^2<=(a|t|+b|s|)^2
が成立するようなa,bを求めればいいわけです。すると、
st(a^2+b^2-2)-2ab|ts|<=0 かつ
st(a^2+b^2-2)+2ab|ts|>=0
という式ができるようですので、あとは、st=|st|, st=-|st|の場合にわけて、計算すればおしまいです。
いずれの場合も st で割る操作が入ることで、簡単な式になります(st=0, つまり、a=1 or b=1の時は別途）。
最終的な答えは第1象限で a+b>=√2 かつ |a-b|<=√2 (3本の直線で囲まれた範囲）となるようです。

おそらく判別式でも、最終的には、(a+b)^2-2>=0 かつ (a-b)^2-2<=0 、つまり、
((a+b)^2-2)((a-b)^2-2)<=0
のような式がでてくるのではないかと思いますが、計算していません。とりあえず、
>4(s^2+t^2)x^2+4(-t^2+ts+2s)x+(-t+s+1)(-t+s-1)=0
の定数項は (s-t)^2-1ではなく、(s-t)^2-4s になるのではないですか？
＃ここにsがあると、とりあえずs=0を代入すると判別式で等号が成立するので、判別式はsでは割れるようです。
No.90441 - 2025/07/24(Thu) 00:28:05
☆ Re: 図形と方程式 / IT
名古屋大学　2011数学　などで検索すると　いくつか解答が見つかりますが、結構面倒ですね。難問ぞろいです。
本番では150分で４問　ですから　迷っている時間はないですね。
思いついた解法で　計算間違いなく進めるしかないと思います。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-72.html

https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/06/04/192151
https://ameblo.jp/mathisii/entry-12843670368.html
No.90442 - 2025/07/24(Thu) 07:15:28
☆ Re: 図形と方程式 / IT
判別式を計算してみました。
地道に展開整理して計算しました。かなり面倒でしたので計算ミス転記ミスがあるかも知れません。

4(s^2+t^2)x^2+4(-t^2+ts+2s)x+(s-t)^2-4s=0
判別式/16= -s^4+2(s^3)t+4s^3-(s^2)t^2+4(s^2)t+4s^2
-s^2 で割ると
s^2-2st-4s+t^2-4t-4
=(a^2-1)^2-2(a^2-1)(b^2-1)-4(a^2-1)+(b^2-1)^2-4(b^2-1)-4
=a^4+b^4-2(a^2)(b^2)-4a^2-4b^2+4
=(a^2+b^2-2)^2-4(a^2)(b^2)
=(a^2-2ab+b^2-2)(a^2+2ab+b^2-2)
=((a-b)^2-2)((a+b)^2-2) ※黄桃さんの推測のとおりです
=(a-b+√2)(a-b-√2)(a+b+√2)(a+b-√2)

s ≠ 0 のとき 判別式≧0 となるのは
(a-b+√2)(a-b-√2)(a+b+√2)(a+b-√2)≦0
a＞0,b＞0 なので
(a-b+√2)(a-b-√2)(a+b-√2)≦0
No.90447 - 2025/07/24(Thu) 20:20:44
☆ Re: 図形と方程式 / さや
ご回答者様　ありがとうございました！

最初の方針でよかったのは意外でした。助かりました。
No.90448 - 2025/07/24(Thu) 23:05:03
★ (No Subject) / やり直しメン
□8の（3）です

21000÷(125+25)では解けないのですか。
No.90429 - 2025/07/21(Mon) 16:48:33
☆ Re: / ヨッシー
それは、ＰとＱが同時にそれぞれＡ，Ｂを出発してから
出会うまでの時間です。
この問題では、着いたのは同時ですが、出発は同時ではありません。
No.90430 - 2025/07/22(Tue) 01:19:50
☆ Re: / やり直しメン
ありがとうございました。
No.90432 - 2025/07/22(Tue) 12:17:06
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です


□2

前半の話です。式は分かっているのですがなぜそのように計算するのか分かりません。
感覚としてはＢさんも動いている訳なので400mよりも多いのではないかという感覚です。
No.90424 - 2025/07/16(Wed) 22:18:35
☆ Re: / ヨッシー
「その用に計算」がどのような計算かもわかりませんし、
「何が」400m よりも多いかもわかりませんが、
Ａさんが１分間にａｍ（分速ａｍ）、Ｂさんが１分間にｂｍ（分速ｂｍ）進むとします。
Ａさんのほうが速い時、
ＡさんがＢさんを追いかける時、１分間に ａ−ｂｍ ずつ差が縮まります。
ＡさんとＢさんが近づく時、１分間に ａ＋ｂｍ ずつ差が縮まります。
＜チェック１＞

これは、Ｂさんが止まっていて、Ａさんがそれぞれ分速ａ−ｂｍ、ａ＋ｂｍで進むのと同じです。
＜チェック２＞

１周400ｍの円を同じ地点から同じ方向に進むのは、400ｍ前にいるＢさんをＡさんが追いかけるのと同じです。
１周400ｍの円を同じ地点から反対の方向に進むのは、400ｍ 離れているＡさんとＢさんが近づいていくのと同じです。
＜チェック３＞

同じ距離を進むのにかかる時間の比は、速さの逆比になります。
例えば、時間が　５：２　なら、速さは　２：５　になります。
＜チェック４＞

以上のことから
　ａ−ｂとａ＋ｂの比は　８：２０＝２：５　になります。
＜チェック５＞

２数の和が○、差が△のとき
　大きい方の数＝（○＋△）÷２
　小さい方の数＝（○−△）÷２
和差算の基礎
＜チェック６＞

以上より、
　Ａさんの速さ：Ｂさんの速さ＝５＋２：５−２＝７：３
となります。
＜チェック７＞

Ａさんの速さ−Ｂさんの速さ＝４００÷２０＝２０（ｍ毎分）
＜チェック８＞

Ａさんの速さ＝２０×７/（７−３）＝３５（ｍ毎分）
＜答え＞

上記＜チェック＞は、どこまで理解されてますか？
No.90425 - 2025/07/17(Thu) 09:15:13
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