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ヨッシーの八方掲示板(算数・数学 質問掲示板)

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質問される方は学年(質問する問題の対象学年)を書いて下さいね。
「答えはわかっているんですが・・・」という場合は、その答えを書いてもらえると、回答しやすいです。


過去の記事のいくつかをこちらに保管してあります。

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z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / 長水
z=a(変数)でn位の極を持つとき
Res(f(z),a)={1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}
と言われたのですが、
具体例として1/z^nのz=0の時は式の分母が0になるような特異点z=0でn位の極を持つと言われますが、
{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}に置いてはz=a(変数)で分母が0になるような部分が{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}には見つからないのですが、
なぜz=a(変数)の時に{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}はn位の極を持つと言われるのでしょうか?

どうか分かりやすく教えて下さい。

No.83198 - 2022/08/18(Thu) 02:35:50

Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / ast
最初の二行が正しく引用できていない (何が「n-位の極を持つ」のかという肝心の主語がない) ことが質問者の誤りを如実に表しているように思います. 主張されていることは
× z=a(変数)の時に{1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}はn位の極を持つ
○ z=a が f(z) の n-位の極であるとき {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)} は Res(f(z),a) に一致する

少なくとも
> {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}
はただの定数だし, 定数が極を持ったりするわけはない.

No.83199 - 2022/08/18(Thu) 09:48:47

Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 / 長水
ありがとうございます。

分かりにくくてすいません。
Res(f(z),a)={1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}の右辺がz=aでn位の極を持つと言われたのですが、nの極を持つ理由がわかりません。

※f(z)=1/{z+1)(z-1)^(n+2)

>> z=a が f(z) の n-位の極であるとき {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)} は Res(f(z),a) に一致する

に関してはn-位ではなく、n位でしょうか?
なぜn-位なのでしょうか?

No.83200 - 2022/08/18(Thu) 16:04:47

Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 NEW / ast
持たねぇって言ってんのにダメだなこりゃ
# やっぱ以前いた斜め読みローラン野郎と同一人物だろコイツ

No.83201 - 2022/08/18(Thu) 16:50:51

Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 NEW / 塩キャラメル
>Res(f(z),a)={1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)}の右辺がz=aでn位の極を持つと言われたのですが、

これは間違いなく質問者さんの聞き間違いでしょう。
お使いの複素関数論の教科書で「留数」「関数の極(とその位数)」の定義を再度確認してください。
これらの定義が理解できていれば、そもそもこれが質問にすらなっていないことがよくわかるかと思います。



>※f(z)=1/{z+1)(z-1)^(n+2)

>> z=a が f(z) の n-位の極であるとき {1/(n-1)!}lim_{z→a}(d/dz)^(n-1){(z-a)^nf(z)} は Res(f(z),a) に一致する

>に関してはn-位ではなく、n位でしょうか?
>なぜn-位なのでしょうか?



こちらも上と同様です。これも極(とその位数)の定義がわかっていれば解決できるはずです。


もし留数定理で何かの積分値を求めたいなら計算ソフトなどに一任してしまうのも手だと思います。

No.83202 - 2022/08/18(Thu) 23:58:52

Re: z=aでnの極を持つ理由が変わらない。 NEW / GandB
 おお!また現れたのか。もうここには来ないと思っていたがwwwwwwwwwww。
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13092428.html
で、熱心に(というか執拗かつ適当に)回答を付けてくれるまことに奇特な人がいるではないか。
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13100196.html
でもまた同じことが繰り返されるのであろう。質問者はそちらで大いに頑張ったもらいたい。
 ただ、その奇特な人の回答をよく読むと、質問者が理解できようができまいが、もはやどうでもいいという感じを受ける(笑)。

No.83203 - 2022/08/19(Fri) 00:35:30
平方数 / 大西
nを自然数とするとき、|2^n+3^n-106|が平方数となるようなnをすべて求めたいのですが、nの範囲をうまく絞れません。

n=4,5,7が解で間違いなさそうですが、n≧8のときの解が存在しないことを示せません。
教えてください。

No.83195 - 2022/08/17(Wed) 00:08:22

Re: 平方数 / 大西
f(n)=|2^n+3^n-106|として、
f(4)=|2^4+3^4-106|=|-9|=3^2

n≧5のときf(n)=2^n+3^n-106

mod 3で考えると、f(n)≡(-1)^n-1
3の倍数の平方数を3で割るとあまり0
3の倍数でないものの平方数を3で割るとあまり±1
より
nが奇数のときnが3の倍数でないのでn=6k±1(k:自然数)
nが偶数のときnが3の倍数であるのでn=6k(k:自然数)

mod 4で考えると、f(n)≡2^n+(-1)^n+2
奇数の平方数を4で割るとあまり1
偶数の平方数を4で割るとあまり0
より
nが奇数のときf(n)≡1であるのでn=4k±1よりn=2k+1(k:2以上の自然数)
nが偶数のときf(n)≡3であるので不適

ここからn=6k±1の形で表されるので、kが2以上で成り立たないことを示せれば、n=4,5,7と求められそうなのですが、kが2以上で成り立たないことを示せないです。

No.83197 - 2022/08/17(Wed) 20:39:04
数1質問 / はまっちょ
矢印からが全く?って感じです
No.83192 - 2022/08/16(Tue) 17:34:55

Re: 数1質問 / ヨッシー
 y=ax+b
のグラフが、右上がりのグラフや、右下がりのグラフだと、
どこかでx軸より下に来る部分が出来るので、
すべてのxにおいて、
 ax+b≧0
とは言えません。
よって、a=0 として、x軸に平行なグラフを考えます。
このグラフが常にx軸上かx軸より上にあるためには、
b≧0 である必要があります。
そのとき、
 y=ax+b=b≧0
となり、常に ax+b≧0 となります。

No.83193 - 2022/08/16(Tue) 17:58:41
(No Subject) / q
問題

aを実数とする。関数f(x)=x|x-1|のa<=x<=a+1における最大値と最小値を求めよ

画像のように場合分けできるのは何故でしょうか

No.83189 - 2022/08/16(Tue) 15:37:20

Re: / X
問題のxの値の範囲である
a≦x≦a+1 (A)
が幅1の範囲であることに注意します。

次に問題のf(x)が最小、最大となるxの値ですが
(I)(A)においてf(x)が単調増加であるとき
f(x)は
x=aで最小
x=a+1で最大

(II)(A)においてf(x)が単調減少であるとき
f(x)は
x=aで最大
x=a+1で最小

(III)(A)においてy=f(x)のグラフが下に凸であるとき
f(x)は
(A)におけるy=f(x)のグラフの頂点において最小
f(a)、f(a+1)のうち大きい方に対するxの値において最大

(IV)(A)においてy=f(x)のグラフが上に凸であるとき
f(x)は
(A)におけるy=f(x)のグラフの頂点において最大
f(a)、f(a+1)のうち小さい方に対するxの値において最小


注)
グラフが「凸である」とは、頂点付近がV字型(或いは逆V字型)
の場合も含みます。


以上を踏まえて、もう一度模範解答をご覧下さい。

No.83190 - 2022/08/16(Tue) 16:06:14

Re: / q
わかりました
御教授ありがとうございました

No.83191 - 2022/08/16(Tue) 16:54:41
(No Subject) / a.e.
不定方程式a+b+c+d=300の自然数解はいくつあるか。(ただしa,b,c,dは2以上)
No.83187 - 2022/08/16(Tue) 11:56:39

Re: / X
a-2=A
b-2=B
c-2=C
d-2=D
と置くと、A,B,C,Dはそれぞれ
0以上の整数
で、問題の不定方程式は
A+B+C+D=292
∴求める自然数解の数は
292個の〇と3個の仕切りでできる順列の数
に等しく
295!/(292!3!)=295・49・293
=4235315[通り]

No.83188 - 2022/08/16(Tue) 15:17:12

Re: / a.e.
丁寧な説明ありがとうございました。
深く感謝します。

No.83194 - 2022/08/16(Tue) 18:39:10
中学一年生  / にこ
食塩水の問題です。1番はわかったのですが、
2番がわかりません。
教えていただきたいです。

No.83183 - 2022/08/16(Tue) 08:22:01

Re: 中学一年生  / X
求める食塩水の重さをx[g]とすると、移し替えた後の
Aの食塩水の中の食塩の重さについて
7.2x/100+400×3/100=(4/100)(x+400)
これを解いてxの値を求めます。

No.83184 - 2022/08/16(Tue) 09:13:11

Re: 中学一年生  / X
こちらの計算では求める食塩水の重さは
125[g]
となりました。

No.83186 - 2022/08/16(Tue) 09:39:44
(No Subject) / 貓舌洋甘菊茶
aを実数とする
放物線y=x^2-x-a^2とy=-2x^2+2ax+1の二つの交点を通る直線lの方程式を求めよ。また、直線lと放物線y=(1/2)x^2が異なる2点で交わる時、その2線で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ。

No.83182 - 2022/08/16(Tue) 02:25:34

Re: / X
前半)
問題の二つの放物線の交点を通る曲線の方程式は
{y-(x^2-x-a^2)}+{y-(-2x^2+2ax+1)}k=0 (A)
(kは定数)
と置くことができます。
(A)より
(k+1)y+(2k-1)x^2+(1-2ak)x+a^2-k=0 (B)
ここで求めるのは直線の方程式なので
(B)のx^2の係数について
2k-1=0
∴k=1/2
これを(B)に代入して
(3/2)y+(1-a)x+a^2-1/2=0

y=(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3 (C)
逆にlは条件から一つしか存在しないので
求める方程式は(C)となります。

後半)
(C)と放物線
y=(1/2)x^2 (D)
との交点のx座標について
(1/2)x^2=(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3

3x^2-4(a-1)x+4a^2-2=0 (E)
(E)の解の判別式をDとすると、条件から
D/4=4(a-1)^2-3(4a^2-2)>0
これより
-8a^2-8a+10>0
4a^2+4a-5<0
∴(-1-√6)/2<a<(-1+√6)/2 (F)
一方、(E)の解をα,βとすると解と係数の関係から
α+β=4(a-1)/3 (G)
αβ=(4a^2-2)/3 (H)
更にlと(D)で囲まれた部分の面積をSとすると
S=∫[α→β]{(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3-(1/2)x^2}dx (I)
(I)の積分を計算して整理をし、(G)(H)を用いると
S=(1/6){{4(a-1)/3}^2-4(4a^2-2)/3}^(3/2)
=(2/9){(a-1)^2-3(4a^2-2)/4}^(3/2)
=(2/9){(a^2-2a+1)-(3a^2-3/2)}^(3/2)
=(2/9)(-2a^2-2a+5/2)^(3/2)
=(2/9){-2(a-1/2)^2+3}^(3/2)
∴(F)より求める最大値は(2/3)√3
(このときa=1/2)

No.83185 - 2022/08/16(Tue) 09:35:05
アマチュア数学 / squall
ヨッシー先生、この前は数学以外の質問をしてすいませんでした。
今回は数学の質問です。
数学にはプロの数学とアマチュア数学とがあると思うのですが、僕はアマチュア数学を勉強したいと考えています。
ヨッシー先生は、アマチュア数学はどこまでできれば上出来だと考えますか?
参考にしたいので聞かせてください。
よろしくおねがいします。

No.83179 - 2022/08/14(Sun) 20:59:57
数式の変形について / 彩
式変形についてです。

大学入試数学の問題集解答でこのような式がありました。
左辺から右辺になる過程がよくわからないです。

教えていただけるとうれしいです。

No.83176 - 2022/08/14(Sun) 13:39:52

Re: 数式の変形について / IT
左辺=a/(2x+1)+b/(x+1) とおいてa,bについての連立方程式を解くしかない?
No.83177 - 2022/08/14(Sun) 14:00:03

Re: 数式の変形について / 彩
IT様

ご助言ありがとうございます。
連立方程式でいけそうです。

No.83178 - 2022/08/14(Sun) 14:17:47
(No Subject) / ドーナツ
いつも頼ってしまい申し訳ありません。
赤チャートの数学3の楕円の問題です。

楕円x^2+4y^2=1と放物線4×(2)^(1/2)y=2x^2+aが異なる4点で交わるための定数aの値の範囲を求めよ。

という問題です。
xを消去してyの2次方程式を作り8y^2+4(2)^(1/2)y-(a+2)=0が-1/2<y<1/2の範囲で異なる2つの解をもつ条件を求めます。

楕円と放物線が異なる2つの解をもてば条件がクリアできるように思うのですが、「-1/2<y<1/2の範囲で」っていうのは必要ですか?

No.83171 - 2022/08/14(Sun) 12:02:25

Re: / IT
8y^2+4(2)^(1/2)y-(a+2)=0が異なる2つの実数解を持つ
というだけでは、xが虚数になる場合があり得るのでは?

ある変数を消去するときは、その変数の存在条件などに注意する必要があります。

No.83175 - 2022/08/14(Sun) 13:15:39

Re: / ドーナツ
なるほど!
yの2次方程式の判別式D>0をすればyは実数解をもつけど、それに対するxは虚数解になるかもしれないからですね。
xが実数解を持つようにするために-1/2<y<1/2が必要なんですね。
ITさん、ありがとうございます。

No.83181 - 2022/08/15(Mon) 13:12:53
図形的に / ドーナツ
赤チャートの数学3の双曲線の問題です。
よろしくお願いします。

双曲線x^2-3y^2=3上の点Pと直線y=3^(1/2)xの距離をdとするときdの最小値を求めよ。
という問題です。
解説で急に「直線y=3^(1/2)xに平行な接線の接点においてdは最小となる」と書かれています。
感覚的にはそうかなと思うのですが、確信が持てません。

No.83170 - 2022/08/14(Sun) 11:43:27

Re: 図形的に / IT
直線y=3^(1/2)x との 距離が aである点の集合を考えてみると良いのでは?

直線y=3^(1/2)xに平行な接線を描いて考えるという方法もあると思います。

No.83172 - 2022/08/14(Sun) 12:07:57

Re: 図形的に / ドーナツ
ITさん、ありがとうございます。
なるほど。直線y=3^(1/2)xから距離aの点の集合は、y=3^(1/2)xと平行な直線になって、それで距離を最小にしようとすると「接するとき」ということになりますね。
納得しました。ありがとうございます。

No.83174 - 2022/08/14(Sun) 12:50:37
(No Subject) / 霊無
AB=p、AC=4、角BAC=60°の三角形ABCの外心をOとする。
(1)↑AB・↑AOと↑AC・↑AOをpで表す
(2)↑AOを↑AB、↑AC、pで表す
(3)AOとBCの交点をHとする。HがBCを3:1に内分する点となるようなpの値を求める

解説よろしくお願いします。

No.83168 - 2022/08/13(Sat) 23:17:52

Re: / X
(1)
△ABCの外接円の半径をRとすると
△OABにおいて余弦定理により
cos∠OAB=(R^2+AB^2-R^2)/(2R・AB)
=AB/(2R)=p/(2R)
となるので
↑AB・↑AO=Rpcos∠OAB=(1/2)p^2 (A)
同様に△OACにおいて余弦定理により
cos∠OAC=AC/(2R)
=2/R
となるので
↑AC・↑AO=4Rcos∠OAB=8 (B)

(2)
条件から
↑AB//↑ACでなく、かつ↑AB≠↑0かつ↑AC≠↑0
∴↑AO=x↑AB+y↑AC
(x,yは実数)
と置くことができます。

↑AB・↑AO=x|↑AB|^2+y↑AB・↑AC (C)
↑AC・↑AO=x↑AB・↑AC+y|↑AC|^2 (D)
ここで
↑AB・↑AC=2p (E)
(A)(B)(E)を(C)(D)に用いて、整理をすると
2px+4y=p (C)'
px+8y=4 (D)'
(C)'(D)'を連立して解き
(x,y)=((2p-4)/(3p),(8-p)/12) (E)
∴↑AO={(2p-4)/(3p)}↑AB+{(8-p)/12}↑AC

(3)
(2)の↑AOを使うと
↑AH=k↑AO
=kx↑AB+ky↑AC
(kは0でない実数)
と置くことができます。
ここで条件から
kx+ky=1 (F)

ky:kx=3:1
∴y=3x (G)
(G)に(E)を代入すると
(8-p)/12=(2p-4)/p
これより
p(8-p)=12(2p-4)
p^2+16p-48=0
∴p=-8±4√7
となるので、p>0より
p=-8+4√7

No.83169 - 2022/08/14(Sun) 02:12:54
等式の証明 / 真夏
下記問題の解説をお願いできませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

_________________________________________________

次の分数式の値を求めよ。

ab+bc+ca=0のとき、
(bc+ca)/ab=(ca+ab)/bc=(ab+bc)/ca

No.83159 - 2022/08/12(Fri) 17:55:29

Re: 等式の証明 / ast
明らかにその式の値は -1 だけど, さすがにこれに解説なんて必要か? 問題に間違いはないか?
No.83161 - 2022/08/12(Fri) 18:17:41

Re: 等式の証明 / 真夏
返信ありがとうございます。

ab+bc+ca≠0 のとき、というのもこの問題のひとつ前にありまして、その場合は、


分数式を(1)として、(1)=kとおき、

bc+ca=abk ・・・(2)
ca+ab=bch ・・・(3)
ab+bc=ach ・・・(4)

(2)、(3)、(4)より、

2(ab+bc+ca)=k(ab+bc+ca)
ab+bc+ca≠0 より、
k=2
与式=2


という解答だったのですが、今回のab+bc+ca=0の場合のやり方がどのようになるのか分からなくて困っています。

No.83163 - 2022/08/12(Fri) 18:56:28

Re: 等式の証明 / ast
# それを見て本問に悩むっていうのは, そういう小問に分けた作問者のセンスが悪いせいなのか?
その解答を見てわかる通り, そもそも最初から
> ab+bc+ca=0のとき、
> ab+bc+ca≠0 のとき、

と分けるのはほとんど意味が無くて, そういう制約を付けることなく単に
> 「(bc+ca)/ab=(ca+ab)/bc=(ab+bc)/ca
> の値を求めよ。」

と問われたとして, その解答の通りにして "k=2 または ab+bc+ca=0" を得たところでようやく
 [i] ab+bc+ca=0 のとき
 [ii] k=2 のとき
と分けることが意味を為すので (だから, 本問は後は直ちに結論を述べるだけという最終段階しかそもそも存在していないのであって), もしその解答を「(ab+bc+ca≠0 のときの) やり方」だと思っているなら (発想としてそもそもまちがっているので) 頭の中を白紙に戻して条件式をよく見るべきだと思います (本問である [i] のときは平易な連立方程式のはずです).

----
なお, 前問で ("(確かに) k=2 である" と主張するときに) は実際にそれを実現する a,b,c の存在を述べておくべきなので, 提示された「解答」がそれで全部であるなら (それだけでは 「(あるとすれば) k=2 でなければならない」という必要条件を述べたにすぎないので) 模範解答としては不十分というべきでしょう.
# (実際「a=b=c とすれば k=2 は実現できる」と一文入れる程度のこともしないのはかなり手抜きだと思います).

No.83167 - 2022/08/13(Sat) 02:57:31

Re: 等式の証明 / 真夏
ast 様

丁寧なご回答、誠に有難うございました。
大変参考になりました。

No.83196 - 2022/08/17(Wed) 10:02:13
(No Subject) / 霊夢
AB=p、AC=4、角BAC=60°の三角形ABCの外心をOとする。
(1)↑AB・↑AOと↑AC・↑AOをpで表す
(2)↑AOを↑AB、↑AC、pで表す
(3)AOとBCの交点をHとする。HがBCを3:1に内分する点となるようなpの値を求める

解説よろしくお願いします。

No.83157 - 2022/08/12(Fri) 17:43:26
数学的帰納法 / セカンドフライ
自然数nに対して、1+1/2+1/3+…+1/n<2√nが成り立つことを証明せよ
No.83155 - 2022/08/12(Fri) 17:31:05

Re: 数学的帰納法 / IT
自然数n について
 2√(n+1)-2√n=2/(√(n+1)+√n)>1/√(n+1)>1/(n+1)
∴2√n+(1/(n+1))<2√(n+1) を使って、数学的帰納法で示す。

No.83160 - 2022/08/12(Fri) 17:57:14
(No Subject) / メアリー
座標平面上に点A(7,0)があり原点OとAからの距離が4:3になる点Pの軌跡をCとする

(1)軌跡Cの方程式を求めなさい
(2)軌跡C上には内積→OP1・→AP1=0となる点P1をとる。ただしP1はy座標が正になる位置に取る

|→AP1|の値を求めなさい
さらに自然数nに対して原点Oと点Pnからの距離の比が4:3である軌跡上の内積→OP(n+1)・→PnP(n+1)=0となるように点Pn+1を順に取る。ただしPn+1は三角形OPn-1Pnと三角形OPnPn+1は辺OPn以外に重ならない位置に取る
(3)→PnPn+1の大きさ|→PnPn+1|を求めなさい

Pn+1=(Xn+1,Yn+1),Pn=(Xn,Yn)とすると
→PnPn+1=(Xn+1-Xn,Yn+1-Yn)であり
→OPn・→PnPn+1=0から
Xn+1^2-Xn+1Xn+Yn+1^2-Yn+1Yn=0…?@

またPn+1は原点Oから点Pnからの距離の比4:3である軌跡上の点なので
4:3=√(xn+1^2+(Yn+1)^2;√(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2
9{(Xn+1)^2+(Yn+1)^2}=16{(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2}
0=16・Xn^2-32XnXn+1+7(Xn+1)^2+16(Yn)^2-32YnYn+1+7Yn+1…?A

?@からXn+1^2+Yn+1^2=XnXn+1+YnYn+1であるからこれを?Aに代入すると
0=-25XnXn+1-25YnYn+1+16Xn^2+16Yn^2
0=Xn(16Xn-25Xn+1)+Yn(16Yn-25Yn+1)
Xn,Ynは共に0ではないので上の等式が成り立つ条件は
16Xn-25Xn+1=0,16Yn-25Yn+1=0
よってXn+1=16/25Xn,Yn+1=16/25Yn

よって→PnPn+1={(16/25)-1}Xn,{(16/25)-1}Yn=(-9/25Xn,-9/25Yn)と表せるから
|→PnPn+1|=9/25√(Xn^2+Yn^2)=9/25|→OPn|

…ちなみに答えは(21/5)・(4/5)^nです

No.83154 - 2022/08/12(Fri) 16:35:01

Re: / ast
> Xn,Ynは共に0ではないので上の等式が成り立つ条件は
> 16Xn-25Xn+1=0,16Yn-25Yn+1=0

↑これがおかしい

> ?@からXn+1^2+Yn+1^2=XnXn+1+YnYn+1であるからこれを?Aに代入
のところで左辺の式を消すのではなくて右辺の式を消すように代入して
   x[n+1]^2+y[n+1]^2=(4/5)^2(x[n]^2+y[n]^2)
 ⇔ x[n]^2+y[n]^2=(4/5)^(2n-2)(x[1]^2+y[1]^2)
 ⇔ |OP[n+1]|=7(4/5)^(n+1)
 ⇔ |P[n]P[n+1]|=3/4|OP[n+1]|=(21/5)(4/5)^n

でいいのかな……?

No.83158 - 2022/08/12(Fri) 17:44:37

Re: / メアリー
疑問?@
|P[n]P[n+1]|=3/4|OP[n+1]|の3/4ってどうやってだすんですか?

疑問?A
16Xn-25Xn+1=0,16Yn-25Yn+1=0
↑これがおかしい
ってあるのですがどういう意味でおかしいのでしょうか?
そもそもこの等式が成り立たないからおかしいっていってるのかこの等式自体は確かに成り立つけどこのまま計算しても求めたい式の形に変形できないからおかしいっていみなんでしょうか?

No.83162 - 2022/08/12(Fri) 18:27:36

Re: / ast
> 疑問?@
ご自分で
> またPn+1は原点Oから点Pnからの距離の比4:3である軌跡上の点なので
> 4:3=√(xn+1^2+(Yn+1)^2;√(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2

という形で既に用いていることなので, 私から改めて何か言うことは必要ないはずです.

> 疑問?A
強いて言うなら前者になるけれど, そもそもここでは式の話ではなく論理がおかしいという話をしているつもり.
# その式だけじゃなく式を含む2行を引用して, その2行を指して「おかしい」と言ってる.
もしその質問が「式にしか興味がない」ことを無意識に含意しているなら意識的に考え方を改めるよう勧めます.

No.83164 - 2022/08/12(Fri) 19:11:25
高校数学•関数 / 山田山
(3)の場合分けについて。基本的に定義域が文字の場合、定義域と軸の場合分けで文字の範囲を作ると習いました。ですがこの解説だと文字を中心に場合分けが始まっています。その理由を教えて下さい。またこの場合の−rの判別を行わない理由も教えて下さい。長文になってしまい申し訳ございません。回答お待ちしています。
No.83151 - 2022/08/12(Fri) 16:16:15

Re: 高校数学•関数 / X
-r≦x≦2r (A)
r≧0 (B)
とします。

一つ目の質問について)
理由も何も、これも
軸と定義域との位置関係による場合分け
をしています。
(但し、この問題の場合は軸が固定されており、
定義域がrの値に関して移動する形ですが。)

最初の
0≦2r≦2
とは軸である直線x=2が
(A)の範囲外右側にある場合
です。
次の
2r≧2
とは軸が(A)の範囲内にある場合
に当たります。

二つ目の質問について)
(B)のような任意のrの値に対し
-r<2
だからです。

No.83153 - 2022/08/12(Fri) 16:33:46

Re: 高校数学•関数 / 山田山
回答ありがとうございます。
(A)についてですが、本来-r<2r<2と表記される所を0<2r<2と記述されていたのでr>0が関係しているのか確認の為の質問をするつもりでした。ですが根本的な考え方の相違なのかと思い、主旨と外れた質問をしてしまいました。すみません。もし間違いであればなぜ2r>0であるのか教えて頂けると助かります。度々ご面倒をお掛けしますが、回答して下さると幸いです。よろしくお願いします。

No.83165 - 2022/08/12(Fri) 21:46:48

Re: 高校数学•関数 / X
問題の条件である
r>0
から
2r>0
です。

No.83166 - 2022/08/12(Fri) 22:44:23
整数論 / ー
nを正の整数とする
360^nの全ての正の約数の和をs(n)とする。
s(n)が10で割り切れるような100以下の正の整数nの個数を求めよ。

自分の解答

s(n)=(2^(3n+1)-1)(3^(2n+1)-1)(5^(n+1)-1)/8
であるので
「1」(2^(3n+1)-1)→mod10
「2」(3^(2n+1)-1)→mod10
「3」(5^(n+1)-1)→mod10の規則性について考える
「1」は5→7→3→→1→...
「2」は6→2→6→2→...
「3」は4→4→4→4→..という規則性があるので
「1」「2」「3」の積をmod8でとると≡0となる

これより100個ある

とこのようになってしまい答えの50個と違う理由を教えてください

No.83146 - 2022/08/12(Fri) 14:12:27

Re: 整数論 / ー
99個の誤りです
No.83147 - 2022/08/12(Fri) 14:14:40

Re: 整数論 / ー
100→99個が自分の答えです
(正の整数なので💦)

No.83148 - 2022/08/12(Fri) 14:16:27

Re: 整数論 / らすかる
例えばn=2のとき、mod10で7×2×4≡6ですから10で割り切れません。
「積をmod8で≡0になる」というのはどういう意味で書いているのでしょうか。

No.83150 - 2022/08/12(Fri) 15:58:23

Re: 整数論 / ー
分母に8があるのであまりが8で割れればいいと思いmod8を取りました56/8=7あまり0なので≡0
自分でもなんかおかしいなと思っています
mod80で取ったあまりを考え余りの積がmod80≡0でやるよりもユーグリットの互除法を使って絞り込む方がこの場合良いのでしょうか?

No.83152 - 2022/08/12(Fri) 16:23:18

Re: 整数論 / らすかる
「10で割った余り」の積が8で割り切れることはあまり意味がないと思います。
例えば1,14,22を「10で割った余り」の1,4,2を掛けると8で割り切れますが、
元の数の積1×14×22は8で割り切れませんので元の数が8で割り切れることにも
なりませんし、10でも割り切れません。
s(n)が10で割り切れる⇔8s(n)が80で割り切れる
ですから、mod80で積を考えればよいと思います。
mod80を直接考えるのは大変なのでmod5とmod16に分けて
2^(3n+1)-1≡0→2→3→1→… (mod5)
3^(2n+1)-1≡1→2→ (mod5)
5^(n+1)-1が5で割り切れることはないので
mod5で0になるのはn=4k+1(k≧0)のとき
2^(3n+1)-1が2で割り切れることはない
3^(2n+1)-1≡10→2→ (mod16)
5^(n+1)-1≡8→12→0→4→ (mod16)
よってmod16で0になるのはn=2k+1(k≧0)のとき
両方合わせると、mod80で0になるのはn=4k+1のときなので
nが1から100までならば答えは25個

No.83156 - 2022/08/12(Fri) 17:31:53
(No Subject) / メアリー
座標平面上に点A(7,0)があり原点OとAからの距離が4:3になる点Pの軌跡をCとする

(1)軌跡Cの方程式を求めなさい
(2)軌跡C上には内積→OP1・→AP1=0となる点P1をとる。ただしP1はy座標が正になる位置に取る

|→AP1|の値を求めなさい

(1)(x-16)^2+y^2=144
(2)21/5

(2)の答えが合わなくて困っています。
Try1
P1の座標を(X,Y)として+→OP1・→AP1=0から
x(x-7)+y^2=0…?@
またP1は円C上の点でもあるので(X-16)^2+Y^2=144…?A
?@?Aからx=112/25,y=84/5
よって→AP1=(x-7,y)より|→AP1|=21√409/25
…合わない

Try2
角度OP1A=90°
→点P1は直線OAを直径とする円周上の点
よって点P1は円{x-(7/2)}^2+y^2=(7/2)^2上の点かつ円C上の点でもあることが分かる。よって{x-(7/2)}^2+y^2=(7/2)^2かつ(x-16)^2+y^2=144の連立不等式を解く…x=112/25,y=84/5
…さっきと同じじゃん…

解説よろしくお願いします

No.83142 - 2022/08/12(Fri) 08:16:48

Re: / IT
>?@?Aからx=112/25,y=84/5
(y はそんなに大きいはずはないです.円C上ということからしても12以下です。)
,計算ミスだと思います)

y=84/25 では?

No.83143 - 2022/08/12(Fri) 08:50:57
空間ベクトル / 乙梨
高2数学IIB空間ベクトルの問題です。

どうしてBC//OAだと言えるのか教えて下さい。

No.83140 - 2022/08/11(Thu) 23:35:12

Re: 空間ベクトル / IT
BCとOAが(共通の)平面αと垂直だからです。
No.83141 - 2022/08/12(Fri) 00:22:35
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