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凸関数 / Lupin
r<0, x>0, y>0のとき、

x^r + y^r が凸関数

(x^r + y^r)^(-1/r) も凸関数

であることを証明してほしいです。よろしくお願いします。

No.62519 - 2019/12/01(Sun) 23:32:25

Re: 凸関数 / m
ヘッセ行列が正値になるなら凸関数です。
x^r + y^rのヘッセ行列は対角行列になってすぐに正値だとわかります。

(x^r + y^r)^(-1/r)の方は計算してもいいのですが大変です。この命題を使うと楽できます。
(g(x, y) = x^r + y^r, f(z) = z^(-1/r)に適用すればok)

No.62521 - 2019/12/02(Mon) 11:07:39
(No Subject) / @abc
回答お願いします!
No.62518 - 2019/12/01(Sun) 23:25:28
(No Subject) / みや
△ABCにおいて、AB=5、BC=6、CA=7とする。この三角形の内接円と辺ABとの接点をDとするとき、ADの長さを求めよ。
という問題が解けないので教えて頂けると幸いです。
どうかお願い致します。

No.62511 - 2019/12/01(Sun) 18:51:42

Re: / らすかる
内接円と辺BC、辺CAとの接点をE、Fとすると
AF=AD、BD=BE、CE=CFであり
AD+BD=5, BE+CE=6, CF+AF=7
この3式を全て足すと
18=5+6+7=(AD+BD)+(BE+CE)+(CF+AF)=(AD+BE)+(BE+CE)+(CE+AD)
=2(AD+BE+CE)
なので
AD+BE+CE=9
∴AD=9-(BE+CE)=9-6=3

No.62514 - 2019/12/01(Sun) 19:09:00

Re: / みや
ありがとうございます
No.62515 - 2019/12/01(Sun) 19:14:40
(No Subject) / とみ
中2図形の調べ方からです。
いろいろな角度の求め方を根拠を明らかにして説明する場合、どうやって説明すればよいのでしょうか。
例もお願いします。

No.62508 - 2019/12/01(Sun) 18:43:40

Re: 図形の調べ方 / とみ
> 中2図形の調べ方からです。
> いろいろな角度の求め方を根拠を明らかにして説明する場合、どうやって説明すればよいのでしょうか。
> 例もお願いします。

No.62509 - 2019/12/01(Sun) 18:44:43

Re: / らすかる
説明は問題の内容によりますので、
具体的な問題がないと答えられません。

No.62510 - 2019/12/01(Sun) 18:49:45

Re: 図形の調べ方 / とみ
見にくくてすみません。例です
No.62512 - 2019/12/01(Sun) 19:00:52

Re: / らすかる
これは角度の和を求める問題だと思いますが、
この問題だとやりかたがたくさんあって
どれがいいとは一概に言えませんね。
(最適な解き方は学習進度状況によって変わります)

説明の一例を書きます。
まず説明のために頂点に記号を付けます。
頂点を辺のつながり順に反時計回りにA,B,C,D,E,F,G,Hとします。
ただし他の辺と交わらない辺が辺ABであり、
辺BCの外側に頂点F、辺CDの外側に頂点G、辺DEの外側に頂点H、
辺EFの外側に頂点AとB、辺FGの外側に頂点C、辺GHの外側に頂点D、
辺HAの外側に頂点Eがあります。
(この説明でわからない場合は、各頂点にA,B,C,D,E,F,G,Hと
 書いた図をアップし直して貰えれば、その記号で再回答します。)
以上は準備で、以下が説明の内容です。

AとDをつなぐと四角形ABCDの内角の和は360°、
EとGをつなぐと三角形EFGの内角の和は180°なので
求める和は360°+180°+(星型ADEGHの内角の和)です。
星型ADEGHの内角の和は、GとDをつなぐと
∠A+∠H=∠ADG+∠HGDとなることから
△EGDの内角の和と等しいことがわかります。
従って星型ADEGHの内角の和は180°なので
求める角度は360°+180°+180°=720°となります。

# 掲示板上で説明するためには記号が必要なので記号を付けましたが、
# 図を見せながら人に対面で説明する場合は記号がなくても説明可能です。

No.62516 - 2019/12/01(Sun) 19:33:45
不等式 評価 / penyoela
(e-1)log(e-1)>1
を高校数学の範囲で示す方法はありませんか?

No.62506 - 2019/12/01(Sun) 18:34:55

Re: 不等式 評価 / penyoela
すみません不等号の向きが逆でした
No.62507 - 2019/12/01(Sun) 18:36:19

Re: 不等式 評価 / らすかる
2.7<e<2.72を使います。
7^7=823543, 3^4=81, 4^7=16384, 8^4=4096から
7^7×3^4=66706983<67108864=4^7×8^4
(7/4)^7<(8/3)^4
(7/4)^(7/4)<8/3
e-1<1.72<1.75=7/4
e>2.7>8/3
なので
(e-1)^(e-1)<(7/4)^(7/4)<8/3<e
∴(e-1)log(e-1)<1

No.62513 - 2019/12/01(Sun) 19:04:24
大学の幾何学の問題です。 / m
写像f : R2 → R2,g : R2 → R2 をf(x, y) = (5y,−3x) , g(x, y) = (x − 3y, 2x + y) とする。
また、R2 ⊃ A = {(x, y)|x ≧ −1, y ≧ 0, y ≦ −3x} とする。
ことのき、
(1)g ◦ f を求めよ。
(2)f は全単射であることを証明せよ。
(3)g は全単射である。g−1 を求めよ。
(4)A、g(A)、f ◦ g(A)、f ◦ f(A) をそれぞれ図示せよ。
回答お願いします!

No.62503 - 2019/12/01(Sun) 17:31:40
二重積分の極座標による解き方 / ゆう
この二重積分の解き方が分かりません。

∫∫dxdy/√(x+2y)
0<=x<=1,0<=y<=1
1/n→1として得られた積分値に対して、n→+∞の極限を取ることで求められる


極座標に変換して計算するのだと思いますが、途中で躓いてしまいました。

教えていただけると助かります。

x=rcosθ、y=rsinθ
0<=r<=1,0<=θ<=π/2として解いていきましたが、

∫√rdr∫dθ/√(cosθ+2sinθ)の三角関数の積分が分からずに止まっています。

ここまで合っているのかも分かりませんが、助けていただけると助かります。

No.62501 - 2019/12/01(Sun) 15:48:24

Re: 二重積分の極座標による解き方 / X
座標変換は不要です。

f(m,n)=∫[y:1/n→1]∫[x:1/m→1]dxdy/√(x+2y)
とすると
f(m,n)=∫[y:1/n→1][2√(x+2y)][x:1/m→1]dy
=2∫[y:1/n→1]{√(2y+1)-√(2y+1/m)}dy
=2[(1/3)(2y+1)^(3/2)-(1/3)(2y+1/m)^(3/2)][y:1/n→1]
=2{√3-(1/3)(2/n+1)^(3/2)-(1/3)(2+1/m)^(3/2)+(1/3)(2/n+1/m)^(3/2)}
∴(与式)=lim[(m,n)→(∞,∞)]f(m,n)
=2{√3-1/3-(1/3)・2^(3/2)}
=-2/3-(4/3)√2+2√3

No.62502 - 2019/12/01(Sun) 17:05:50

Re: 二重積分の極座標による解き方 / X
ちなみに極座標変換で積分範囲を
>>0<=r<=1,0<=θ<=π/2
と変換していますが、間違っています。
(これでは積分範囲が
原点中心、半径1の4分の1円
になってしまいます)

但し、この点を修正したとしても
極座標変換による計算はお勧めできません。
(rについての積分の計算を終えたところで
計算を断念しました。)

No.62504 - 2019/12/01(Sun) 17:34:01

Re: 二重積分の極座標による解き方 / ゆう
Xさま

回答ありがとうございます。
自分でも解きなおしてみて、なんとかできました。

本当にありがとうございます!

No.62505 - 2019/12/01(Sun) 17:39:24
(No Subject) / ササミ
画像の3.の解き方と答えがこれで合っているかどうか不安なので確認お願いします。
No.62499 - 2019/12/01(Sun) 14:51:41

Re: / ササミ
問題です。↓
No.62500 - 2019/12/01(Sun) 14:52:10
(No Subject) / P
{1/2n(n+1)}^2-1/6n(n+1)(2n+1)=1/12n(n+1)(n-1)(3n+2)がどうしてそうなるか分かりません。
これもよろしくお願いします。

No.62489 - 2019/11/30(Sat) 15:29:25

Re: / CORNO
{1/2n(n+1)}^2-1/6n(n+1)(2n+1)
 =(1/4)n^2(n+1)^2−(1/6)n(n+1)(2n+1)
 =(3/12)n^2(n+1)^2−(2/12)n(n+1)(2n+1)
 =(1/12)n(n+1){3n(n+1)−2(2n+1)}
      [注](1/12)n(n+1) をくくり出した
 =(1/12)n(n+1)(3n^2+3n−4n−2)
 =(1/12)n(n+1)(3n^2−n−2)
 =(1/12)n(n+1)(n−1)(3n+2)

です.

No.62492 - 2019/11/30(Sat) 16:55:20

Re: / P
ありがとうございます。
No.62493 - 2019/11/30(Sat) 17:12:23
(No Subject) / P
2^n+2-2^n+1=2^n+1がどうしてそうなるかが分かりません。
よろしくお願いします。

No.62488 - 2019/11/30(Sat) 15:09:48

Re: / IT
2^(n+2)-2^(n+1)=2^(n+1) ですか?

2^(n+2)=2*2^(n+1) と書けば分かりますか?

No.62490 - 2019/11/30(Sat) 15:57:11

Re: / P
2*2^2(n+1)-2^(n+1)=2^(n+1)(2-1)=2^(n+1)ですか?
No.62491 - 2019/11/30(Sat) 16:09:22

Re: / IT
違います、記入ミスがあるようです。
No.62494 - 2019/11/30(Sat) 19:45:59

Re: / P
2*2^2(n+1)が2*2^(n+1)ですね。
No.62495 - 2019/12/01(Sun) 03:25:18
精度と式 / ガラム
画像の放物線y=x^2/2Rを微分すると
lim dy/dx^2=0とでるのでしょうか?
違うとしたらどこからlim dy/dx^2=0は出て来たのでしょうか?
ちなみに、曲率円とは画像のどの式でしょうか?
最後に誤差lim dy/dx^3=0はどうやって出たのでしょうか?

No.62485 - 2019/11/29(Fri) 22:08:46

Re: 精度と式 / ガラム
補足ですいません、
なぜ曲率円の条件がlim dy/dx^2=0とわかったのでしょうか?

No.62496 - 2019/12/01(Sun) 04:27:03
(No Subject) / バナナ
y=(x+2){x-(5/2)}とする。この時(y-1)(|y|-3)<-9/4となるxの値の範囲はチツ<x<テ/トである。

(チツ…―1,テ/ト…3/2)

y<0の時|y|=-y
より(y-1)(|y|-3)<-9/4
4×y^2+8y-3>0
⇔y<(-2-√7)/2,y>(√7-2)/2
y<0よりy<(-2-√7)/2
またy<0になるxの値の範囲は—2<x<5/2
よってxがこの範囲にある時にy=(x+2)(x-(5/2))<(-2-√7)/2
を満たすIがあるか調べていくと…という風にやっていったんですが…なんかうまくいかないんですけど…。模範解答よろしくお願いします。

No.62482 - 2019/11/29(Fri) 19:35:41

Re: / IT
> y<0の時|y|=-y
> (y-1)(|y|-3)<-9/4
> 4×y^2+8y-3>0

まず、この変形がまちがっていると思います。

No.62483 - 2019/11/29(Fri) 20:34:03

Re: / IT
この前が違っているのですが、仮に正しく直した後
>またy<0になるxの値の範囲は—2<x<5/2
>よってxがこの範囲にある時にy=(x+2)(x-(5/2))<(-2-√7)/2


y<0かつ y<a(a≦0) となるxの範囲を求めるには、
2段階にせず、y<a(a≦0) となるxの範囲を求めれば良いです。

No.62484 - 2019/11/29(Fri) 20:39:27
(No Subject) / バナナ
XY平面においてA(8√3,0)を中心とする半径8の円とC1,B(—3√3,0)を中心とする半径3の円をC2とする。接線L1,L2,L3はC1,C2のいずれにも次のように接している

L1とC1の接点のy座標は正,L1とC2の接線のy座標は負である。
L2とC1の接点のy座標は負,L2とC2の接線のy座標は正である。
L3とC1の接点もL3とC2の接線もともにy座標は正である。

L1,L2,L3の全てに接する円でC1,C2と異なる物は2つある。これらの円の中心のX座標はともにソである。またこれらの円の半径の値はと小さい方から順にタ,チツである。

またL1,L2,L3で囲まれた面積はサト√ナである

解答 ソ…0,タ…2,チツ…24 サト√ナ…24√2)

模範解答がなくて困っています。解説よろしくお願いします

No.62479 - 2019/11/29(Fri) 18:59:44

Re: / らすかる
AとBはx軸上にあり、また
(原点からAまでの距離):(原点からBまでの距離)=(C1の半径):(C2の半径)
なので、C1とC2は互いに原点中心に対称移動・拡大縮小したものである。
従ってL1とL2は原点を通り、y軸に関して対称だから、
L1とL2の上側に接する円の中心はy軸上にある。
∴ソ=0
(原点からAまでの距離):(C1の半径)=√3:1なので
(L1とC1の接点から原点までの距離):(C1の半径)=√2:1
よってL1はy=x/√2
L1とL2はy軸に関して対称なのでL2はy=-x/√2
L1とL2の上側に接する円C3の中心をCとすると
(L1とC3の接点から原点までの距離):(C3の半径)=1:√2なので
(原点からCまでの距離):(C3の半径)=√3:√2
従ってC3はx^2+(y-(√3)t)^2=2t^2と表せる。
L3の式は5x-(13√2)y+48√3=0であり(∵点と直線の公式により算出)
C3がL3に接することから、点と直線の距離の公式により
|-(13√2)(√3)t+48√3|/√(5^2+(13√2)^2)=(√2)t
これを解いてt=√2,12√2なので
C3の半径は(√2)t=2,24
∴タ=2、チツ=24
L1とL3の交点は(6√3,3√6)
L2とL3の交点は(-8√3/3,4√6/3)
なのでL1とL3の交点を通りx軸に平行な直線を引いて
二等辺三角形を作ることにより、
求める面積は(6√3×3√6)×((4/3)÷3)=24√2
∴サト√ナ=24√2

# 「サト√ナ」は「テト√ナ」の間違いのような気がしましたが、
# そのまま「サト√ナ」と書きました。

No.62487 - 2019/11/30(Sat) 09:47:01
手順を教えてください / 次期エース
手順を教えてください
No.62478 - 2019/11/29(Fri) 18:48:53

Re: 手順を教えてください / X
r=√(x^2+y^2)
=e^(-t)
となるからです。

No.62480 - 2019/11/29(Fri) 19:02:01
定義域内での極値や変曲点について / となかい
定義域を0<=x<=2paiのとき、y=sin(x)の変曲点として、(0,0)や(2pai,0)を加えてもいいのでしょうか?同様にy=cos(x)はx=0、x=2paiで極値を持つと言ってもいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

No.62476 - 2019/11/29(Fri) 14:47:00

Re: 定義域内での極値や変曲点について / らすかる
0≦x≦2πが定義域のy=sinxでは変曲点は(π,0)だけです。
例えば
f(x)=
2x-sinx (x<0)
sinx (0≦x≦2π)
2x-4π-sinx (2π<x)
という関数を考えてみて下さい。
この関数は(0,0)や(2π,0)が変曲点になっていませんので、
このf(x)の0≦x≦2πの範囲だけを考えたときに
(0,0)と(2π,0)が変曲点になると考えるのはおかしいですね。
よって定義域の端を変曲点と考えることはできません。

極値の方は定義によって変わる可能性がありますが、
通常は↓こちらに書かれているように端点は含みませんので
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4
y=cosxが極値をとるのはx=πのみとなります。

No.62477 - 2019/11/29(Fri) 15:23:10

Re: 定義域内での極値や変曲点について / となかい
ありがとうございました!
No.62486 - 2019/11/30(Sat) 00:45:06
体積 / ぴく
x^2+y^2+z^2≦4,(x-1)^2+y^2≦1,z≧0
を満たす立体の体積を求めよ。

お願いします。

No.62475 - 2019/11/29(Fri) 12:41:03

Re: 体積 / らすかる
求める立体を円柱面x^2+y^2=r^2(0≦r≦2)で切ると
断面は円柱面上の長方形となり、
その長方形の高さは√(4-r^2)
また、その長方形を平面に伸ばした時の幅は
2rarccos(r/2) (図形的に考えると簡単)
従って求める体積は
∫[0〜2]{√(4-r^2)}{2rarccos(r/2)}dr
=∫[0〜π/2]2sint・4tcost・2sint dt (∵r=2costとおいた)
=16∫[0〜π/2]tcost(sint)^2 dt
=16[t(sint)^3/3][0〜π/2]-16∫[0〜π/2](sint)^3/3 dt
  (∵∫3cost(sint)^2 dt=(sint)^3+C)
=8π/3-16∫[0〜π/2](sint)^3/3 dt
=8π/3-(16/3)∫[0〜π/2]{1-(cost)^2}sint dt
=8π/3-(16/3)∫[0〜1]1-u^2 du (∵cost=uとおいた)
=8π/3-(16/3)[u-u^3/3][0〜1]
=8π/3-32/9
=8(3π-4)/9

No.62497 - 2019/12/01(Sun) 07:33:57

Re: 体積 / X
別解)
求める体積をVとすると
V=∫∫[D]√(4-x^2-y^2)dxdy
(D:(x-1)^2+y^2≦1)
ここで極座標変換をすると
D:0≦r≦2cosθ,-π/2≦θ≦π/2
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴V=∫[θ:-π/2→π/2]∫[r:0→2cosθ]{r√(4-r^2)}drdθ
=∫[θ:-π/2→π/2][(-1/3)(4-r^2)^(3/2)][r:0→2cosθ]dθ
=∫[θ:-π/2→π/2](8/3){1-|sinθ|^3}dθ
=2∫[θ:0→π/2](8/3){1-(sinθ)^3}dθ
=(16/3)[θ:0→π/2]{1-{1-(cosθ)^2}sinθ}dθ
=(16/3)[θ+cosθ-(1/3)(cosθ)^3][θ:0→π/2]
=(16/3)(π/2-2/3)
=(8/9)(3π-4)

No.62498 - 2019/12/01(Sun) 09:12:43
大学レベル 確率 / gasuto
2次元正規分布の確率密度関数f(x,y)に対し,長方形領域ABCD内に含まれる確率は関数で表せるのでしょうか?
ρ=0のとき次のように表せるはずなのは導出できました。

No.62473 - 2019/11/29(Fri) 02:11:53

Re: 大学レベル 確率 / gasuto
添付失敗のため再送
No.62474 - 2019/11/29(Fri) 02:13:18
文系数学の良問プラチカ 29より / キヨっち
どなたかこれの意味を教えていただけないでしょうか?
この記号が1つになって書いてあります

No.62470 - 2019/11/28(Thu) 15:42:09

Re: 文系数学の良問プラチカ 29より / らすかる
私の環境では∨||∧のように縦向きに見えますが、
多分これを90°回転したものですよね?
であれば、↓こちらをご覧下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%8F%B7

No.62471 - 2019/11/28(Thu) 16:42:48

Re: 文系数学の良問プラチカ 29より / キヨっち
ありがとうございます!
お陰でこの解説が何を言いたいのかが分かりました

No.62472 - 2019/11/28(Thu) 17:24:05
ヒルベルト空間 / qw
解答を作成していただけないでしょうか・・・?
No.62467 - 2019/11/28(Thu) 08:58:40
(No Subject) / うい
0.012を1.2*10^n
の形で表したいのですが、どうすればいいかわからないので教えてください。

1.2×10^-5になるみたいです……。

No.62463 - 2019/11/27(Wed) 22:39:14

Re: / らすかる
10^0=1
10^(-1)=0.1
10^(-2)=0.01
0.012は0.01の1.2倍なので
0.012=1.2×10^(-2)
となります。
1.2×10^(-5)にはなりません。

# もしそうなっているのなら、単位が違うのかも知れません。
# 0.012mm = 1.2×10^(-5)m など。

No.62465 - 2019/11/28(Thu) 00:10:38
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