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記事No.10153に関するスレッドです
★ (No Subject) / ばんだ
上三角行列の行列式は対角成分の積に等しいことを示せ。が分かりません。誰か分かる人いませんでしょうか。
No.10149 - 2010/04/20(Tue) 21:58:28
☆ Re: / rtz
k×kのとき成り立つとして、
(k+1)×(k+1)について第1列で余因子展開すれば
同様に成り立つことが分かるので以下略。
No.10150 - 2010/04/21(Wed) 17:17:07
☆ Re: / ばんだ
もう少し詳しくお願いします
No.10152 - 2010/04/22(Thu) 04:34:52
☆ Re: / ヨッシー
３次の場合の余因子展開が上の式です。
これが、上三角行列だと、下のようになります。

No.10153 - 2010/04/22(Thu) 05:44:21
☆ Re: / soraria
3-3の行列式では確かにそうなりますが一般の場合を教えてほしいです。
No.10159 - 2010/04/23(Fri) 19:35:52
☆ Re: / ヨッシー
ｋ次の上三角行列をＡとします。
これに、上と左に１行１列加えて、k+1次の上三角行列Ｂにします。
このとき加えた要素を、
第１行を左から、
ｂ1,1、ｂ1,2・・・ｂ1,n+1
第１列を上から
ｂ1,1、ｂ2,1・・・ｂn+1,1
とします。ただし、
　ｂ2,1＝ｂ3,1＝・・・＝ｂn+1,1＝０
です。

Ｂのｉ行ｊ列の余因子をＢi,jとします。
特に、Ｂ1,1＝|Ａ| です。
Ｂを第１列で余因子展開すると
　|Ｂ|＝ｂ1,1Ｂ1,1＋ｂ2,1Ｂ2,1＋ｂ3,1Ｂ3,1＋・・・＋ｂn+1,1Ｂn+1,1
　　＝ｂ1,1|Ａ|＋０・Ｂ2,1＋０・Ｂ3,1＋・・・＋０・Ｂn+1,1
　　＝ｂ1,1|Ａ|
よって、|Ａ| がＡの対角成分の積であれば、|Ｂ|はＢの
対角成分の積となります。
No.10161 - 2010/04/23(Fri) 21:06:33