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記事No.10334に関するスレッドです
★ 数学A　高１ / 静
数学A 防衛大

１×２×３×・・・・・×１５０の末尾に続く０の個数を求めよ。

解答には
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数5の個数を求めればよい。
1、2、3、・・・、150に含まれる5の倍数は 150=5・30から 30個
5^2（＝25）の倍数は 150=25・6から6個
5^3（＝125）の倍数は 150=125・1＋25から１個
ゆえに、1、2、3、・・・、150に含まれる因数5の個数は全部で30＋6＋1＝37個
よって、求める0の個数は 37個」

恥ずかしながら、問題の問うている意味がわかりません。
また、解答では因数（？）を利用していますが、
本当になぜこのような解答になるのかわかりません。
すみませんが誰か分かる方がいましたら教えていただけませんでしょうか^^;
よろしくお願いしますm（_ _）m
No.10322 - 2010/05/18(Tue) 00:55:08
☆ Re: 数学A　高１ / shinji
例えば
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 3628800
の末尾の0の数は2です。
これが150の場合は末尾の0はいくつになるか？と聞いています。

ですから
「0の個数は、1×2×3・・・×150に含まれる因数10の因数であり、10は2×5と素因数分解される。
1、2、3、・・・、150に含まれる因数2の個数が因数5の個数より多いのは明らかであるから、因数 5の個数を求めればよい。」
となります。
No.10324 - 2010/05/18(Tue) 01:27:33
☆ Re: 数学A　高１ / 静
疑問 25の倍数には5×5と5が２個含まれ、125の倍数には5×5×5と5が３個含まれる。
ですがなぜ25の倍数と125の倍数と個別に考えなくてはいけないのでしょうか？
最初の5の倍数の中には25の倍数も125の倍数も含まれていますよね？
よくわかりません；
No.10326 - 2010/05/18(Tue) 02:21:23
☆ Re: 数学A　高１ / shinji
5の倍数を数えただけでは5^2の倍数、5^3の倍数に含まれる5の因数の数を数えられないからです。
No.10327 - 2010/05/18(Tue) 10:21:28
☆ Re: 数学A　高１ / shinji
25の倍数を数えるときは
(25の倍数の数)×(因数5の数の2)
という発想があると思いますが、2つの因数のうち、1つは5の倍数で数えているので、1回数えるだけでOKです。

同様に125の倍数を数えるときは
(25の倍数の数)×(因数5の数の3)
となりますが、5の倍数および25の倍数を数えるときに3つのうち2つ数えているので、1回数えればよいとなります。
No.10333 - 2010/05/18(Tue) 21:55:49
☆ Re: 数学A　高１ / ヨッシー
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16
には、２が何回掛けられているでしょう？
という問題を考えます。



図は、２が掛けられている部分だけ抜き出したものです。
２の倍数は８個　・・・これで、赤の２が数えられます
４の倍数は４個　・・・これで、青の２が数えられます
８の倍数は２個　・・・これで、緑の２が数えられます
16の倍数は１個　・・・これで、紫の２が数えられます
合計で、２は１５個掛けられています。

５についても同様です。

最初に２５，１２５なども含め、５の倍数を数え、
それに加え、２５の倍数を数え、次に、125の倍数を数えます。
それぞれ、１回ずつ数え、２５だからと言って、一度に
２回足すわけではなく、５の倍数のときに１回、２５の倍数の
ときに１回、合計２回数えられます。

↓この図は、上の図と同じです。
No.10334 - 2010/05/18(Tue) 21:57:14