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記事No.10580に関するスレッドです
★ 関数の連続性 / sara
こんばんは。
質問させていただきます。

次の関数y=f(x)のグラフをかけ。また、f(x)が定義されないxの値、および定義域内でf(x)が不連続となるxの値を求めよ。
(1)f(x)=lim n→∞{(x＾(n+1)+1)/(x＾n+1)}
(2)f(x)=lim n→∞{(1+x)/(1+x＾2n)}
(3)f(x)=lim n→∞{sin＾nx} (0≦x≦2π)

グラフを書いてみても、どこかが間違っており、
完璧なグラフがかけません。
グラフの書き方の手順とコツを教えていただきたいです。
No.10576 - 2010/06/11(Fri) 19:36:01
☆ Re: 関数の連続性 / angel
おはようございます。

> グラフを書いてみても、どこかが間違っており、

グラフを描く前に、このような問題であれば、x の範囲に応じて場合分けをし、f(x)の形を具体的に調べることになります。
そこの解析の部分が問題なのでしょうか。それともグラフを描画するのが問題なのでしょうか。
どちらかで状況が全く違いますよ。

ちなみに(1)だとこんな感じでしょうか。

　x≧1 の時 f(x)=x
　-1＜x＜1 の時 f(x)=1
　x=-1 の時 f(x)は定義されない
　x＜-1 の時 f(x)=x
No.10580 - 2010/06/12(Sat) 05:27:00
☆ Re: 関数の連続性 / sara
場合わけが適当で曖昧だったみたいです。
angelさんの回答を手本に
すべての図を正確に書くことができました。

後定義域はどうやって求めたらいいのでしょうか。
No.10590 - 2010/06/12(Sat) 18:36:41
☆ Re: 関数の連続性 / angel
> 定義域はどうやって求めたらいいのでしょうか。

これは、
> また、f(x)が定義されないxの値、
のことでしょうか。
(1)であれば、
> x=-1 の時 f(x)は定義されない
と書いた通りでして、x=-1 が「f(x)が定義されないxの値」で、逆に定義域はそれ以外。つまり x≠-1
これは場合分けした結果 ( lim n→∞ 〜 が収束するかどうか ) 次第、ですね。

もし、
> 定義域内でf(x)が不連続となるxの値
のことを気にされているのでしたら、(1)の場合、不連続であるx=-1は、元々定義域内に入っていないということで、「定義域内でf(x)が不連続となるxの値はなし」となります。
※(2)の場合 x=1、(3)の場合 x=π/2 ですかね。
No.10593 - 2010/06/13(Sun) 00:27:05
☆ Re: 関数の連続性 / sara
わかりました！
ありがとうございました。
No.10595 - 2010/06/13(Sun) 14:27:16