ΔABCにおいて、辺AB、ACの中点をそれぞれD,Eとし、辺ABの垂直二等分線とΔABCの外接円OのCを含まない弧ABとの交点をF,辺ACの垂直二等分線と外接円OのBを含まない弧ACとの交点をGとする。そして、△ABCの内接円の中心をIとする。以下は、4DF・EG=AI^2が成立することの証明である。
∠CAB=α、∠ABC=β、∠BCA=γとし、以下の()にあてはまる数または式をα、β、γ、πを用いて、最も簡単な形で表せ。
(証明)
線分AIの中点をHとする。四角形AFDHについて、
∠ADH=(ア)、∠HAD=(イ)、∠DAF=(ウ)
であるから、
∠HAF＋∠FDH=(エ)となり、
四角形AFDHは円に内接する。よって、
∠AFH=(オ)
であり、
DF：AH=sin(カ)：sin(キ)
となる。一方、四角形AHEGについても、同様にして、
∠GAE=(ク)、∠HGA=(ケ)
であるから、
AH：EG=sin(カ)：sin(キ)
ゆえに、DF・EG=AH^2、つまり、4DF・EG=AI^2が成り立つ。
図を描いてみたのですが、さっぱりわかりません。
よろしくお願いします。
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No.10594 - 2010/06/13(Sun) 13:24:47
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