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記事No.10771に関するスレッドです
★ 数列 / meta(高２)
１が書かれたカードが１枚,２が書かれたカードが１枚,……,ｎが書かれたカードが１枚の全部でｎ枚のカードからなる組が２組ある。Ａはそのうちの１組をもち、Ｂは別の１組をもつ。ＡとＢは、それぞれ無作為に自分のもっている組のうちの１枚を取り出す。Ａが取り出したカードに書かれている数をａとし、Ｂが取り出したカードに書かれている数をｂとする。次の規則(?@),(?A)に従って,ＡとＢの得点を定める。
(?@)ａ＝ｂのとき,Ａの得点をａ^2とし、Ｂの得点を０とする
(?A)ａ≠ｂのとき,Ａの得点を０とし、Ｂの得点を|ａ−ｂ|とする
(1)Ａの得点の期待値を求めよ
(2)Ｂの得点の期待値を求めよ

自分でかいておいてなんですが問題の意味からしてわけがわかりません…
数列のカテゴリー内にあったので件名は数列としました

わかりやすい解答と解説をお願いします
No.10770 - 2010/07/03(Sat) 22:58:23
☆ Re: 数列 / angel
取り敢えず、問題の内容を把握するところから。
一般のnで考えてワケワカランとなるのなら、比較的小さいnの場合を例として挙げてみるのが良いでしょう。
と、いうわけでn=3の場合の表を作ってみました。

これだと、Aの得点の期待値は14/9、Bの得点の期待値は8/9ですね。

そこから更に一般のnの場合を考えてみましょう。( Bの得点の期待値の方は、若干工夫が要るかも )
答は(1)…(n+1)(2n+1)/(6n)、(2)…(n+1)(n-1)/(3n) になると思いますが、それは最後の答え合わせにどうぞ。

※「それぞれ無作為に」ではなく「それぞれ最善を尽くすように」だと面白くなるんですが…まあそれは別のお話
No.10771 - 2010/07/03(Sat) 23:58:27
☆ Re: 数列 / meta(高２)
(2)がangelさんの答と一致しません…

分母がn^2になるのはわかっているのですが、分子の合計値を出すのに手間取っています

対角線はずっと０なので無視して、そこを境に右上と左下にそれぞれ同じ数列が2つずつあると考えました

つまり、1,2,3,……,n-1と1,2,3,……,n-2と1,2,3,……,n-3の3つです

1〜(n-3)までは共通なので、６*?納k=1,n-3](k)++2(n-2)+2(n-1)=3n^2-9n+12

よって３(n^2-3n+4)/n^2となってしまいました…
No.10772 - 2010/07/04(Sun) 02:40:45
☆ Re: 数列 / angel
(2)に関して。
規則性が見えづらければ、もう少しnの値を大きくして考え直すのが良いでしょう。
あまりあせって決め打たずに。

nがある程度大きい想定での、Bの得点の表を抜粋した図を載せます。2段階で和を求める必要がありまして、取り敢えず2案考えられます。案1の方が素直かも。
No.10773 - 2010/07/04(Sun) 10:48:26
☆ Re: 数列 / meta(高２)
わかりやすい図をかいてもらって申し訳ないのですが…

Ｂの得点がどうなるのか、全体像を掴むことはできたのですが、和を求められません

?納k=2,n](k)(k-1)とすれば案１で求めることが可能だと思うのですがこれでは計算ができないですし…

案２のほうも同様です
No.10774 - 2010/07/04(Sun) 11:46:35
☆ Re: 数列 / meta(高２)
すいません。説明不足でした

分母の２は左下の部分を足すことを考えた２倍と合わせて消しています

２((n(n-1)/2)+((n-1)(n-2)/2)+……+(3*2/2)+(2*1/2))

⇔２*(n(n-1)+(n-1)(n-2)+……+(3*2/2)+(2*1/2))/2

⇔n(n-1)+(n-1)(n-2)+……+3*2+2*1

⇔?納k=2,n]k(k-1)

というようなかたちです。

そもそもk=2とするのは可能なのでしょうか？
No.10775 - 2010/07/04(Sun) 11:55:45
☆ Re: 数列 / angel
> そもそもk=2とするのは可能なのでしょうか？

勿論可能です。
ただし、
・1+2+…+n = Σ[k=1,n] k = 1/2・n(n+1)
・1^2+2^2+…+n^2 = Σ[k=1,n] k^2 = 1/6・n(n+1)(2n+1)
といった公式の活用を考えているなら、これはk=1開始が前提ですから、

Σ[k=2,n] 〜 = Σ[k=1,n] 〜 - Σ[k=1,1] 〜

のように差を考える必要があります。
そういった意味では、k=2〜n ではなく、k=1〜n-1 で範囲を取った方が話は早いかも。
?納k=2,n]k(k-1) の代わりに Σ[k=1,n-1](k+1)k ですね。

Σ[k=1,n-1] k = 1/2・(n-1)(n-1+1) = 1/2・n(n-1)
Σ[k=1,n-1] k^2 = 1/6・(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1) = 1/6・n(n-1)(2n-1)

というように、おしりが変わる分には対応は楽ですから。
No.10776 - 2010/07/04(Sun) 14:05:08
☆ Re: 数列 / angel
ちなみに、案1の方が素直かも、と言ったのは

　2・1 = 1/3・(3-0)・2・1 = 1/3・(3・2・1-2・1・0)
　3・2 = 1/3・(4-1)・3・2 = 1/3・(4・3・2-3・2・1)
　4・3 = 1/3・(5-2)・4・3 = 1/3・(5・4・3-4・3・2)
　…
　(n-1)(n-2) = 1/3・(n-(n-3))・(n-1)(n-2) = 1/3・(n(n-1)(n-2)-(n-1)(n-2)(n-3))
　n(n-1) = 1/3・((n+1)-(n-2))・n(n-1) = 1/3・((n+1)n(n-1)-n(n-1)(n-2))

という変形から、
　(左辺の和) = 1/3・( (n+1)n(n-1) - 2・1・0 )
というすっきりした求め方もあるからです。決まると気持ちが良いですね。
No.10777 - 2010/07/04(Sun) 14:31:57