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記事No.10796に関するスレッドです
★ 高１　確率 / amatu
1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、･･･、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をa，b，cとするとき、得点Xを次の規則(i)，(ii)に従って定める。
(i) a，b，cがすべて異なるとき、Xはa，b，cのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) a，b，cのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたすkに対して、となる確率をとする。
(1) をnとkで表せ。
(2) が最大となるkをnで表せ。

http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm07f5.htm
ここにある答えで

「n+1/2が整数、つまり、nが奇数のときには、pkはk=n+1/2のときに最大です。
n+1/2が整数にならないとき、つまり、nが偶数のときには、n+1/2に近い整数は、n/2とn/2+1になるので、pn/2とpn/2+1とを比較することになります。」
とあるのですがここのいってることがさっぱりわかりません。
だれかわかるかた教えてください。おねがいします。。
No.10787 - 2010/07/06(Tue) 05:54:32
☆ Re: 高１　確率 / ヨッシー
>をみたすkに対して、となる確率をとする。
の部分が、文字が欠落しています。
たぶん、画像で式が表示されていたのかと思いますが。
No.10789 - 2010/07/06(Tue) 06:22:26
☆ Re: 高１　確率 / ヨッシー
ちなみに、海外出張のため、
http://www.riruraru.com/cfv21/math/htm07f5.htm
のページは読めませんが、最大云々のところで詰まっている
ということは、(1) は理解できたのですよね？
No.10790 - 2010/07/06(Tue) 06:25:24
☆ Re: 高１　確率 / angel
とりあえず(1)の答が、
　( 6(k-1)(n-k) + 3n - 2 )/n^3
となるので、(k-1)(n-k) の部分に着目します。

添付の図のようにグラフを描いたなら、(1,0),(n,0) の2点を通り、上に凸な放物線なので、軸 k=(n+1)/2、頂点のy座標 (n-1)^2/4 となることが分かります。( 平方完成は必要ないのです )

しかしながら、今回 k は整数なので、nが奇数ならば丁度頂点の所で最大値と言えるのですが、n が偶数の場合は最大値となるポイントがずれます。
放物線は左右対称なので、軸から左右に1/2ずれた所 ( yの値は1/4小さくなる ) が最大値ということです。

なお、上記の話は、k^2 の係数が -1 が前提なので、今回の問題の場合、更に 6/n^3 倍されることに注意してください。
No.10796 - 2010/07/06(Tue) 22:46:57