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記事No.10806に関するスレッドです
★ 高３ 体積 / なつ
解き方がわからないので
質問させてもらいます(>_<)


0空間において点(0,0,0)を中心とする半径rの球と
点(1,0,0)を中心とする半径√1ーr^2の球との共通部分の体積をV(r)とする。

(1)V(r)を求めよ

(2)rが0V(r)を最大にするrの値およびV(r)を求めよ。






わかる方いらっしゃいましたら
教えていただけると嬉しいです。

よろしくお願いします。
No.10804 - 2010/07/08(Thu) 21:25:32
☆ Re: 高３ 体積 / angel
取り敢えず、図(グラフ)を描きましょう。
立体なので、全貌を把握するように描くのは難しいかもしれませんが、y軸方向から見てx-z平面図にすれば、2つの球の位置関係が掴めるはずです。( 平面図上では、それぞれ円に見える )

体積については、球の一部なので、軸に沿って断面積を計算し、適切な範囲で積分することです。
※球が2種類あるので、2箇所分計算して、最後に和を求めます。
具体的な積分計算はともかく、式まで立てることはできますか?
No.10806 - 2010/07/08(Thu) 22:46:22
☆ Re: 高３ 体積 / なつ
angelさん

お返事ありがとうございます！
図まで書いていただき
本当に感謝しています。



ｘーｚ平面にするところまではわかったのですが

共通部分の面積の求め方がわかりません…

書いてくださった図なんですが
三角形はどうして直角三角形になるとわかるんですか？

あとそこからどうやって面積を求めるのかわかりません…


すみません勉強不足で…

時間がありましたら
教えていただけると嬉しいです。
No.10807 - 2010/07/08(Thu) 23:27:58
☆ Re: 高３ 体積 / angel
> 三角形はどうして直角三角形になるとわかるんですか？
それは三角形の3辺の長さが分かっていて、なおかつ3平方の定理(ピタゴラスの定理)にあてはまっているから。
今回、ここの三角形は重要なので、何か特殊な形状ではないか、調べるものでしょう。
なお、ピンクと緑に塗った箇所の境界のx座標、r^2 というのも、この三角形が直角三角形であるところから分かります。小さく割った三角形が相似形になっているからです。

> あとそこからどうやって面積を求めるのかわかりません…
球の体積を積分で出す、ってやったことありませんか?
一般に半球の場合なら、
　∫[0,R] π(R^2-t^2)dt = 2/3・πR^3 ← 球の体積 4/3・πR^3の半分
のような計算をやります。

今回は球の一部の体積を求めるので、積分範囲がちょっと違うだけ。( 勿論 R の代わりに、それぞれの球の半径を使います )
・図中緑に塗った箇所に対応する体積
　∫[r^2,r] π(r^2-t^2) dt
・図中ピンクに塗った箇所に対応する体積
　∫[1-r^2,√(1-r^2)] π((1-r^2)-t^2) dt
ここで持ち出している t というのは、それぞれ球の中心から、積分のために考えている断面図までの距離です。( 前の書き込みの図の右側参照 )
なので、積分範囲も、「球の中心からどの程度離れている箇所が対象か」で決めています。
t を改めて持ち出さずに x を使って積分しても良いのですが…
( 断面図を x の関数で表し、x の範囲を指定して積分する )
ただ、右側の球 ( 中心が(1,0,0)の球 ) で出てくる式があまり綺麗でなく、分かりにくくなるでしょう。
No.10810 - 2010/07/09(Fri) 00:05:57