| (1)
sin5θ=sin(3θ+2θ) として、加法定理 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβを適用
その後、倍角・三倍角をそれぞれ処理
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=1-2sin^2θ
sin3θ=3sinθ-4sin^3θ
cos3θ=4cos^3θ-3cosθ
最後に、cos^2θやcos^4θ=(cos^2θ)^2 が残るので、cos^2θ=1-sin^2θを使って全てsinに直す。
(2)
下の図のような三角形を考える。これは、正十角形を、外接円の中心をもとにして1/10に切り出したもの。
図にあるxは、方程式 x^2+x=1 の正の解として求められることから、この三角形の形状が分かる。
※二等辺三角形や相似の関係で、赤字の部分が分かる
そうすると、三角形の面積Sも求められる。
具体的には、S=1/2・x・√(1-(x/2)^2)
xの値を直接代入すると、二重根号が出てきて結構大変なので、両辺を平方した
S^2=1/4・x^2・(1-(x/2)^2) の形に直して整理するのが吉。
x^2+x=1 という関係があることから、x^2を消去して、xの一次式にまとめられる。
最終的に、正十角形の面積は 10S として計算できる。
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No.10817 - 2010/07/10(Sat) 11:23:55 |
