図のようにｎ（ｎ＞＝２）本の平行線と、それらに直行するｎ本の平行線が、それぞれ両辺とも同じ間隔a(a>０）で並んでいる
（１）上記のような、合計２ｎ本の直線のうち４本で囲まれる長方形（正方形を含む）は全部でいくつあるか。
（２）同様に、正方形は全部でいくつあるか。
解説
（２）a=1であるとしても一般性を失わない。縦の直線をｘ＝１、ｘ＝２、・・・・・ｘ＝ｎとし、横の直線をｙ＝１、ｙ＝２、・・・・
ｙ＝ｎとする正方形の一辺の長さをｋ（１＜＝ｋ＜＝ｎー１）とする。縦の２辺が乗っている２本の直線の組はｘ＝１とｘ＝ｋ＋１、
ｘ＝２とｘ＝ｋ＋２・・・・、ｘ＝ｎーｋとｘ＝ｎのｎーｋ通りある。同様に横の２辺がのっかている２本の直線の組もｎーｋ通りあり、
一辺の長さがｋの正方形は（ｎーｋ）＾２通りあり、正方形は全部で
n-1
Σ(n-k)^2=(n-1)^2+(n-2)^2+・・・・・+2^2+1^2・・・?@
k=1 =1/6n(n-1)(2n-1)(個）
ある。?@は（n-k)^2のｋに、1,2・・・・・・、n-1を代入した結果である。
まず、最後の
【n-1
Σ(n-k)^2=(n-1)^2+(n-2)^2+・・・・・+2^2+1^2・・・?@
k=1 =1/6n(n-1)(2n-1)(個）
ある。?@は（n-k)^2のｋに、1,2・・・・・・、n-1を代入した結果である。】
の部分がわかりません。
数列は既習なのｄすが
なぜ
n-1
Σ(n-k)^2=(n-1)^2+(n-2)^2+・・・・・+2^2+1^2・・・?@
k=1 =【1/6n(n-1)(2n-1)】(個）になるのでしょうか？
また、
【一辺の長さがｋの正方形は（ｎーｋ）＾２通りあり】とありますが、
なぜ2（n-k）通りではなく、【（ｎーｋ）＾２通り】なんでしょうか？
誰か分かる方教えてください。お願いします。
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No.11025 - 2010/07/29(Thu) 22:58:30
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