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記事No.11351に関するスレッドです
★ 曲線の方程式の求め方 / Erica
y切片が2/3で漸近線がx=-1,x=2,y=-3である下記の曲線
http://www.geocities.jp/merissa0/study/calculus/fractiona__function.jpg
はどういう方程式になるか推測せよ。

の解き方をお教え下さい。
No.11291 - 2010/08/22(Sun) 01:34:33
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica
グラフです
No.11292 - 2010/08/22(Sun) 01:36:18
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / らすかる
x→-1+0 のとき f(x)→+∞
x→-1-0 のとき f(x)→-∞
x→2+0 のとき f(x)→-∞
x→2-0 のとき f(x)→-∞
ですから、分母が(x+1)(x-2)^2の分数関数が考えられます。
y=-3が漸近線であることと(0,2/3)を通ることから
分子は -3x^3+ax^2+bx+8/3 とおけて、
これにx=0のときの傾きが-1ぐらいで
x=-2あたりで極大値をとることを加味すると
f(x)=(-9x^3-13x^2-12x+8)/{3(x+1)(x-2)^2}
という式が導けます。
この式は一応問題の条件は満たしていますが、
グラフソフトでグラフを描くとわかるように、
問題の手書きのグラフとは結構曲線の形状が異なります。

より問題のグラフに似ている式を作るとしたら、
例えば -x/{(x+1)(x-2)^2} を元にして
x=2あたりに極大値が出来て(0,2/3)を通るように 2/{(x+1)^2+2} を加え、
x＜-1とx＞2の部分を下に3下げるように
(3/2){|x+1|/(x+1)-|x-2|/(x-2)-2} を加えることにより
f(x)=-x/{(x+1)(x-2)^2}+2/{(x+1)^2+2}+(3/2){|x+1|/(x+1)-|x-2|/(x-2)-2}
といった式を作れば、見た目も元のグラフに近くなります。

でも、おそらくもっと綺麗な式があるのだと思います。
No.11296 - 2010/08/22(Sun) 16:44:46
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica
> x→-1+0 のとき f(x)→+∞
> x→-1-0 のとき f(x)→-∞
：
> でも、おそらくもっと綺麗な式があるのだと思います。

大変ありがとうございます。このように求めるのですね。さすがです。

実際に描いてみましたらそのようなグラフになりました。


これは先日の試験問題で答案を返してくれなくて記憶だけで曲線を手書きしてしまいましたが
先日少しだけその答案を確認させてもらえましたら
添付ファイルの曲線でした。

x=-1とx=3とy=0が漸近線で(0,2/3)と(-2,0)を通ります。
(-2,0)の所は特に極大値にはなってませんでした。

これをy=a[(x+1)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2] (aは定数)と於いて
で(0,2/3)を通る事から
a=3/2で
y=3/2[(x+1)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2]
と求めてみたのですがあまりにも簡単すぎと思うのですがこれで正しいでしょうか?
No.11351 - 2010/08/27(Fri) 03:51:15
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica
すいません。書きミスです。

a=-3/2で
y=-3/2[(x+1)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2]

でした。
No.11352 - 2010/08/27(Fri) 04:20:04
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / らすかる
分子に(x+1)があると分母の(x+1)と相殺されてx=-1が漸近線にならず、
全然違うグラフになってしまいます。
また、y=-(3/2){(x+1)(x-2)}/{(x+1)(x-3)^2} は (0,2/3)を通りません。

x軸との交点を(-2,0)と(2,0)だとすると、分子は -(3/2)(x+2)(x-2) となり、
これは一応条件を満たしています。
No.11354 - 2010/08/27(Fri) 17:14:01
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica
恐縮です。

> x軸との交点を(-2,0)と(2,0)だとすると、分子は -(3/2)(x+2)(x-2) となり、
> これは一応条件を満たしています。

y=-3/2[(x+2)(x-2)]/[(x+1)(x-3)^2]

でしたね。
No.11360 - 2010/08/28(Sat) 10:00:06
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / らすかる
はい、それで大丈夫です。
No.11362 - 2010/08/28(Sat) 10:08:01
☆ Re: 曲線の方程式の求め方 / Erica
どうもありがとうございます。

感謝感謝です。
No.11366 - 2010/08/29(Sun) 01:46:28