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記事No.11357に関するスレッドです
★ 微分_3 / meta
axf(x)=-x^3+3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかき、最小値を求めよ。

微分してf´(x)=-3x^2+3ax

極大・極小はx=0,aなので、増減表をかくにはaで場合分けになりそう。

(?@)a＜0(?A)a=0(?B)0＜a
という感じでやってみました。

(?@)の場合、Ｍ(a)=f(0)
(?A)の場合、Ｍ(a)=f(0)?
(?B)の場合、Ｍ(a)=f(1)?
全然自信ないですが…

よろしくお願いします。
No.11328 - 2010/08/26(Thu) 16:39:40
☆ Re: 微分_3 / meta
問題文が変ですね…

正しくは、

aを実数とし、xの関数f(x)=-x^3+3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかき、最小値を求めよ。

です。
No.11329 - 2010/08/26(Thu) 16:41:33
☆ Re: 微分_3 / meta
かなり問題のかたちが似ているので追加です。

aを実数とし、xの関数f(x)=x^3-3ax^2/2-aの0≦x≦1における最大値をＭ(a)とおく。b=Ｍ(a)のグラフをかけ。
No.11337 - 2010/08/26(Thu) 20:37:24
☆ Re: 微分_3 / angel
それぞれの場合分けに対して、y=f(x)のグラフの概形を描いて考えていますか?

最初の問題は、
(i) a＜0
(ii) a＝0
(iii)-1 0＜a≦1
(iii)-2 a＞1
の4通りの場合分けになります。

添付の図は、(i) の場合の、y=f(x)のグラフです。ここから見てとれる通り、(i) の場合は、M(a)=f(0) となります。
なお、たまたま極小値 f(a) が x軸より上に来ている例になっていますが、別にそこは深く気にする必要はありません。( x軸は描かなくても良いくらい )
No.11341 - 2010/08/26(Thu) 21:37:32
☆ Re: 微分_3 / meta
場合分けは4通り必要だったんですね。
グラフをかいて、Ｍ(a)を調べてみました。

(?@)Ｍ(a)=f(0)
(?A)Ｍ(a)=f(a)=f(0)
(?B-1)Ｍ(a)=f(a)
(?B-2)Ｍ(a)=f(1)

といった感じでしょうか？
No.11344 - 2010/08/26(Thu) 22:42:44
☆ Re: 微分_3 / angel
はい。それで合っています。

> 場合分けは4通り必要だったんですね。

先に4通りという数字を出していますが、多分普通に解くと、y=f(x) のグラフ形状からまず 3通りの場合分けを行い、そこから a＞0 のケースで更に場合分けが必要であることに気付く、となると思います。
※(iii)-1, (iii)-2 と敢えて書いているのはそのため。
No.11346 - 2010/08/26(Thu) 23:02:24
☆ Re: 微分_3 / meta
(?B-1)から導かれるb=a^3/2-aのグラフがどのようになるか教えていただきたいのですが…

他のグラフとの位置関係が掴めません…
No.11349 - 2010/08/26(Thu) 23:46:51
☆ Re: 微分_3 / angel
えーと、普通に3次関数のグラフです。
しかも、b=1/2・a^3-a って、変曲点が原点ですから、原点を中心とした点対称なグラフになります。
0＜a＜1 の範囲で極小値を取りますので、そこは計算してください。

ちなみに、傾き(微分係数)にも注意しておきましょう。
a＝0,1 の境界で、どのように直線のグラフとスイッチするのか、見え方が変わって来ますから。
No.11357 - 2010/08/27(Fri) 22:46:03