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記事No.11383に関するスレッドです
★ (No Subject) / ナミネ
はじめてここを利用させていただきます。
解説のない問題なので、出来れば解答の大まかな流れを教えてください。
よろしくお願いいたします。

OA=2√2　OB=3　角度AOB=π/4である三角形OAB
OCベクトル=OAベクトル-(2/3)OBベクトルを満たす点をCとする

辺ABをt:1-tに内分する点をPとし、直線OPと直線BCの交点をQよする

(1)内積OA･OB、OC･ACの値を求めよ
(2)OQベクトル=k(OP)ベクトルとするとき、実数kの値をtを用いて表せ

(3)4点O A C Pが同一円周上にあるとする。
tの値を求めよ
三角形OBQの面積を求めよ
No.11375 - 2010/08/29(Sun) 23:59:31
☆ Re: / ヨッシー

図のように、ＯＢとＯＣは直角になることを確認しておきます。

(1)
ＯＡ・ＯＢ＝2√2×３×√2/2＝６
ＯＣ・ＡＣ＝ＯＣ・(ＯＣ−ＯＡ)
　＝|ＯＣ|2−ＯＣ・ＯＡ
　＝２2−２×2√2×√2/2＝０
（ＯＣ、ＡＣ は、見るからに直角ですが）

(2)
まず、
ＯＡとＢＣの交点をＤとすると、ＯＤ：ＤＡ＝３：２
より、メネラウスの定理より
　(ＯＱ/ＱＰ)(ＰＢ/ＢＡ)(ＡＤ/ＤＯ)＝１
　{k/(1-k)}{(1-t)/1}(2/3)＝１
これより、
　ｋ＝3/(5-2t)

(3)
∠ＯＣＡは直角なので、∠ＯＰＡが直角なら、
４点ＯＡＣＰは、同一円周上にあります。
　ＯＰ・ＡＢ＝{(1-t)ＯＡ＋ｔＯＢ}・(ＯＢ−ＯＡ)
　　＝５ｔ−３＝０
より　ｔ＝３／５
このとき、
　ｋ＝15/19
なので、
△ＯＡＢ＝３
△ＯＰＢ＝△ＡＢＣ×2/5＝6/5
△ＯＢＱ＝△ＯＰＢ×15/19＝18/19
No.11378 - 2010/08/30(Mon) 21:57:21
☆ Re: / ナミネ
解説ありがとうございます。
学校のプリントの問題だったのですが
先生の（3）の解答は 9/7 となっていました。
（1）（2）は先生の答えと一致しています。
先生の答えが間違っているのでしょうか？
No.11379 - 2010/08/30(Mon) 23:34:18
☆ Re: / ヨッシー
(3) は、
ｔ＝２／５
ｋ＝５／７

△ＯＰＢ＝△ＡＢＣ×3/5＝9/5
△ＯＢＱ＝△ＯＰＢ×５／７＝９／７
ですね。

失礼しました。
No.11380 - 2010/08/31(Tue) 00:09:49
☆ Re: / ナミネ
解説ありがとうございます。
ひとつわからない点があります。

(2)
まず、
ＯＡとＢＣの交点をＤとすると、ＯＤ：ＤＡ＝３：２

とのことですが、どこからこの比を求めたのでしょうか？
No.11381 - 2010/08/31(Tue) 11:26:25
☆ Re: / ヨッシー
ＤからＯＣに垂線ＤＥを下ろします。
ＣＥ：ＥＤ＝ＣＯ：ＯＢ＝２：３
ＯＥ：ＥＤ＝１：１＝３：３
よって、ＡＤ：ＤＯ＝ＣＥ：ＥＯ＝２：３
です。
No.11383 - 2010/08/31(Tue) 15:36:55