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記事No.11531に関するスレッドです
★
区分求積
/ 匿名
引用
151の問題なのですが、
全く解き方がわかりません…
宜しくお願いします。
No.11531 - 2010/09/14(Tue) 19:08:26
☆
Re: 区分求積
/ ヨッシー
引用
1+2+･･･+n＝n(n+1)/2
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
より、
(与式)＝lim 900n^5(n+1)^5/32n^2(n+1)^2(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
＝lim 225n^3(n+1)^3/8(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2
分母子とも６次なので、６次の項の係数だけ抜き出すと、
(与式)＝225/(8・4・9)＝25/32
No.11534 - 2010/09/14(Tue) 22:12:42
☆
Re: 区分求積
/ angel
引用
一応、「区分求積」というヒントがありますので、積分を使った形で。
良くある添付の図のような形で、短冊状の長方形の面積の和は、積分値に近づいていきます。つまり、
lim 1/n・( f(a+1/n) + f(a+2/n) + … + f(a+k/n) + … + f(a+n/n) ) = ∫[a,a+1] f(x)dx
今回の問題では、分母・分子とも n^10 で割ってやると、
(分母)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n)^4 + (0+2/n)^4 + … + (0+n/n)^4 ) )^2
(分子)÷n^10 = ( 1/n・( (0+1/n) + (0+2/n) + … + (0+n/n) )^5
となり、いずれも積分を用いた値に収束するため、
(与式)
= lim(分子÷n^10)/lim(分母÷n^10)
= ( ∫[0,1] xdx )^5 / ( ∫[0,1] x^4dx )^2
と計算できます。
No.11536 - 2010/09/14(Tue) 22:49:51
☆
Re: 区分求積
/ 匿名
引用
ご説明ありがとうございます！
1つ目の解法の方で
1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?
また、2つ目の方で｢分母・分子とも n^10 で割る｣
とありますが、これに気づくコツ(?)のようなものはありますか…?
No.11539 - 2010/09/14(Tue) 23:44:01
☆
Re: 区分求積
/ ToDa
引用
＞1つ目の解法の方で
＞1^4＋2^4＋･･･n^4＝n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
＞とありますが、これはどのように出したものなのでしょうか?
とりあえずヒント。
数列の項で、
1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
という公式を習いますが、さて、これはどのように証明したか覚えていますか？ それの応用です。
No.11541 - 2010/09/15(Wed) 00:10:51
☆
Re: 区分求積
/ angel
引用
> 気づくコツ(?)のようなものはありますか…?
「区分求積法」とあるので、1/n・f(a+k/n) の形を作るのが、コツと言えばコツでしょうか。なお、問題によっては、細部が変わってくることも。( 1/n・f(a+(k-1)/n) とか )
今回は、1^4+2^4+…+n^4 の形を見て、
1^4+2^4+…+k^4+…+n^4 ※一般化のため、kを勝手に追加
= n^4・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )
= n^5・1/n・( (1/n)^4+(2/n)^4+…+(k/n)^4+…+(n/n)^4 )
といった感じ。
No.11542 - 2010/09/15(Wed) 00:17:07
