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記事No.11610に関するスレッドです
★ 集合？ / 真数条件
先ほどはすいません。
『自然数nに対して、Un={(x,y)｜|x|≦n,|y|≦n},Vn={(x,y)| |x|+|y|≦n}とする。
座標平面上の点の集合Ｓ={(a-b,a+b)|a,bは整数}に対して、集合Ｓ∩Un と　Ｓ∩Vn の要素の個数をそれぞれnで表せ。』
（必要ならば、1からnまでの自然数の和は1/2×n(n+1)を利用してもよい）

この問題が解けずに苦労しています。皆様のお力をいただけるとうれしいです。

高校2年
No.11608 - 2010/09/18(Sat) 22:15:17
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
まず、Ｕn、Ｖn はどういう範囲かというと、このようになります。
枠線および内部が、その範囲です。
No.11609 - 2010/09/18(Sat) 22:35:02
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
で、Ｓは、こういう点群です。
No.11610 - 2010/09/18(Sat) 22:43:15
☆ Re: 集合？ / ヨッシー
では、点の数を数えます。
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ1)＝１＋４＝５
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ2)＝１＋４＋８＝13
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ3)＝１＋４＋８＋12＝25
　Ｎ(Ｓ∩Ｕ4)＝１＋４＋８＋12＋16＝41
これより、
　Ｎ(Ｓ∩Ｕn)＝１＋４(１＋２＋・・・＋ｎ)＝1＋2n(n+1)＝2n^2＋2n＋1

　Ｎ(Ｓ∩Ｖ1)＝１
　Ｎ(Ｓ∩Ｖ2)＝Ｎ(Ｓ∩Ｖ3)＝３^2＝９
　Ｎ(Ｓ∩Ｖ4)＝Ｎ(Ｓ∩Ｖ5)＝５^2＝25
これより、
　ｎが奇数の場合　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝ｎ^2
　ｎが偶数の場合　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝(ｎ＋１)^2
１つの式で書くなら、
　Ｎ(Ｓ∩Ｖn)＝{ｎ＋1/2＋(1/2)(-1)^n}^2
となります。
No.11611 - 2010/09/18(Sat) 22:59:10
☆ Re: 集合？ / 真数条件
非常に参考になりました。ありがとうございます！
No.11614 - 2010/09/19(Sun) 07:32:42