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記事No.11610に関するスレッドです

集合? / 真数条件
先ほどはすいません。
『自然数nに対して、Un={(x,y)||x|≦n,|y|≦n},Vn={(x,y)| |x|+|y|≦n}とする。
座標平面上の点の集合S={(a-b,a+b)|a,bは整数}に対して、集合S∩Un と S∩Vn の要素の個数をそれぞれnで表せ。』
(必要ならば、1からnまでの自然数の和は1/2×n(n+1)を利用してもよい)

この問題が解けずに苦労しています。皆様のお力をいただけるとうれしいです。

高校2年

No.11608 - 2010/09/18(Sat) 22:15:17

Re: 集合? / ヨッシー
まず、Un、Vn はどういう範囲かというと、このようになります。
枠線および内部が、その範囲です。

No.11609 - 2010/09/18(Sat) 22:35:02

Re: 集合? / ヨッシー
で、Sは、こういう点群です。
No.11610 - 2010/09/18(Sat) 22:43:15

Re: 集合? / ヨッシー
では、点の数を数えます。
 N(S∩U1)=1+4=5
 N(S∩U2)=1+4+8=13
 N(S∩U3)=1+4+8+12=25
 N(S∩U4)=1+4+8+12+16=41
これより、
 N(S∩Un)=1+4(1+2+・・・+n)=1+2n(n+1)=2n^2+2n+1

 N(S∩V1)=1
 N(S∩V2)=N(S∩V3)=3^2=9
 N(S∩V4)=N(S∩V5)=5^2=25
これより、
 nが奇数の場合 N(S∩Vn)=n^2
 nが偶数の場合 N(S∩Vn)=(n+1)^2
1つの式で書くなら、
 N(S∩Vn)={n+1/2+(1/2)(-1)^n}^2
となります。

No.11611 - 2010/09/18(Sat) 22:59:10

Re: 集合? / 真数条件
非常に参考になりました。ありがとうございます!
No.11614 - 2010/09/19(Sun) 07:32:42