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記事No.11629に関するスレッドです
★ 合成関数のグラフ / bone
f（x）(０≦ｘ≦１)が次のように定義されるとき合成関数y＝f・f(x)(０≦ｘ≦１)のグラフをｘｙ座標平面状に書け。

f(x)＝２ｘ（０≦ｘ≦1/2）
-２ｘ+２(1/2≦ｘ≦１)


まず私は単純に
０≦ｘ≦1/2の場合　f・f(x)＝２・２x＝４x
1/2≦ｘ≦１の場合f・f(x)＝−２(−２x+２)+２＝４ｘ−２
と考えて後はグラフと考えてしまったんですが、正解は四つの場合分けになるそうです。
何故そうなるのか全くわかりません・・・

すみませんが教えてください。
No.11595 - 2010/09/18(Sat) 09:58:16
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
元のf(x)がこういう形をしているので、
　xがAの範囲にある … f(x)=A(x)
　xがBの範囲にある … f(x)=B(x)

場合分けとしては、
　xがAの範囲に、f(x)がAの範囲にある … f・f(x)=A(A(x))
　xがAの範囲に、f(x)がBの範囲にある … f・f(x)=B(A(x))
　xがBの範囲に、f(x)がAの範囲にある … f・f(x)=A(B(x))
　xがBの範囲に、f(x)がBの範囲にある … f・f(x)=B(B(x))
となります。
No.11597 - 2010/09/18(Sat) 10:25:18
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
ご回答有難うございます。
申し訳ないのですが全然わからないのでもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします・・・

また、ちょっとお聞きしたいことがあるのですが、
lim［x→０］（x^2+1)/xを考えるとき、式自体にｘ＝０を代入すれば０なので０に収束するはずですが、今０/1というのは不定形ではないですよね？
極限の不定形の話に混乱していまして・・・
∞×０や０/0は明らかに不定形だとわかるのですが・・・・
すみませんがお願いします。
No.11612 - 2010/09/19(Sun) 02:10:01
☆ Re: 合成関数のグラフ / ToDa
では具体例を。

x = 1/8 , 3/8 , 5/8 , 7/8のとき、それぞれのf(x)の値と、f・f(x)の値はいくらになりますか？

で、後半。

0/1=0ですが、それを議論するのであれば

＞lim［x→０］（x^2+1)/xを考えるとき

この式間違っていませんか？　この式はx=0を代入すると1/0になります。0/1にはなりません。
No.11617 - 2010/09/19(Sun) 09:16:58
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
念のため、ですが、合成関数 f・f(x) というのは、f(f(x)) のことだというのは良いですよね。
※f・g(x) の場合は、f(g(x))、g(f(x)) のどちらを指すのかは、流儀によるのでややこしいのですが…

ToDaさんのヒントの通り、幾つか具体的な値を計算して、イメージ作りに役立てることです。

例えば、x=0.1 の時であれば、f(0.1)=0.2 なので、
　f・f(0.1)=f(f(0.1))=f(0.2)=0.4
といった具合に。

> 極限の不定形の話に混乱していまして・・・
> ∞×０や０/0は明らかに不定形だとわかるのですが・・・・

別の話は、別記事としてあげた方が良いでしょう。話が混ざると混乱しますから。
で、不定形というと、0/0 か ∞×0 か ∞/∞ 位しか出てこないと思いますが…
逆に言えば、それ以外は収束か発散かが一目で分かる形になるということです。
No.11618 - 2010/09/19(Sun) 10:55:36
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
お二方有難うございます。
angelさんのおっしゃる合成関数の公式みたいなのは一応把握しるつもりです・・・＞＜
申し訳ないのですが、そもそも今何を出して何をやりたいのかがよくわかりません。
Todaさんの問いは
x=1/8で　f(x)=2*1/8=1/4 ff(x)=2+2+1/8=1/2
x=3/8で　f（x）=2*3/8=3/4 ff(x)=2*2*3/4
と思うのですが答えから推測すると違うのでしょうか・・・
一応青チャで似たような問題を見つけましたがまた同じように場合わけするところからわかりません。（-1≦ｘ≦-１/2のところから）
合成関数の意味がわかっていないのでしょうか・・・

後半について
分子分母逆でした。ごめんなさい。
不定形でも∞/∞であれば強さで値を出すことが可能な場合がありますが、0があると一応割り算や掛け算に直すことで結果を変えることができることもあるけれど変えれなければ不定形ということで進まないのかなと思いました。
No.11629 - 2010/09/20(Mon) 03:25:03
☆ Re: 合成関数のグラフ / ToDa 


＞x=1/8で　f(x)=2*1/8=1/4 ff(x)=2*2*1/8=1/2
＞x=3/8で　f（x）=2*3/8=3/4 ff(x)=2*2*3/4

についてですが(赤字部分はケアレスミスだと思うので直しておきました。落ち着いて書き込んでください。)、

f(1/8)=1/4
f(3/8)=3/4　で、ここまではいいでしょう。

だったら、
f・f(1/8) = f(1/4) = 1/2 (←これは結果的に一致していますが)
f・f(3/8) = f(3/4) = 1/2

となる、という事に納得はできませんか？

---
おそらくは、合成関数についての把握が不十分なのではないかと思います。

f(x)=2x    (0≦x≦1/2)
     -2x+2 (1/2≦x≦1)

で、f・f(x)=f(f(x))なのだから、上記のxをf(x)に置き換えて

f・f(x)=f(f(x))=2f(x)    (0≦f(x)≦1/2)
                -2f(x)+2 (1/2≦f(x)≦1)

とすべきであって、

f・f(x)=f(f(x))=2f(x)    (0≦x≦1/2)
                -2f(x)+2 (1/2≦x≦1)

ではないのです。条件(xの範囲)のほうのxだけ特別扱いして、それを置き換えなくていい、なんて理由はありません。

No.11633 - 2010/09/20(Mon) 08:07:46
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
ToDaさんと重複しますが、大事な所なので。

(1) f(3/4)=1/2 である
　まず、これはO.K.でしょうか?
(2) f(3/8)=3/4 である
　これもO.K.でしょうか。
(3) (1),(2)の結果より、f・f(3/8)=f(f(3/8))=f(3/4)=1/2 である。
　これもO.K.だと即答できるでしょうか?
　これこそが、「合成関数のことを把握しているかどうか」なのです。

そうしたら、また改めて f・f(1/8), f・f(3/8), f・f(5/8), f・f(7/8) を計算してみて下さい。
上にあげた (2)→(1)→(3) の順で考えるようにすると良いでしょう。
No.11643 - 2010/09/20(Mon) 21:58:45
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
こんばんは、色々考えていてお返事が遅くなりました、すみません。
みなさん一生懸命説明してくださって感謝です。
間違っていたポイントがわかったと思います。つまり合成関数にしたとき定義域を今度は値域に変えないといけないといいますか、f(x)の範囲に直さなかったからだめだったんですね。
ただ、f(x)を完全に別の文字で置き換えるなどしなければ混乱してしまいます。丁寧にグラフに対応させないとわかりません。
f・f(3/8)=f(f(3/8))=f(3/4)=1/2 である。
　これもO.K.だと即答できるでしょうか?
というのは値から見た結果論で見ればわかりますがそれではまずいでしょうか？？
最初のangelさんの記事のようにスマートに頭の中でわかるようになれば早いのだろうとおもいます・・・

幾度もすみません、よろしくお願いします。
No.11649 - 2010/09/22(Wed) 03:22:28
☆ Re: 合成関数のグラフ / angel
> スマートに頭の中でわかるようになれば早いのだろうとおもいます・・・

んー。そりゃ「解説」なのでなるべくスマートに書くように心がけていますが、必ずしも考える時にスマートにやっているわけではないので…。

> 値から見た結果論で見ればわかりますがそれではまずいでしょうか？？

いいえ、全然問題ナシです。
そうしたら、「計算してみて下さい」と書きましたよね。
これは、何もダシオシミやシゴキではなく、具体的に数例の計算を行うことが、実際に重要だからです。(※これは大抵の場合にあてはまる話ですが)
ある x ( 1/8 や 3/8 や… ) に対して、f・f(x) の値を、「この問題の答」を知らない状態で、boneさんはどうやって計算しますか? ということ。

面倒なので、A(x)=2x, B(x)=-2x+2 と置いて話を進めますが、f・f(3/8) を求める場合、

　・まず f(3/8) を求める
　・0≦3/8≦1/2 であることを確認
　・なので、B(3/8) ではなく A(3/8) を計算する
　・f(3/8)=A(3/8)=3/4
　・次に、その 3/4 を元に f(3/4) を求める
　・1/2≦3/4≦1 ( 1/2≦A(3/8)≦1 ) であることを確認
　・なので、A(3/4) ではなく B(3/4) を計算する
　・f(3/4)=B(3/4)=1/2
　・最終的に f・f(3/8)=1/2 ( = B(3/4) = B(A(3/8)) )

のようなことを考えるはずで。
で、一般の x に対して f・f(x) の値を計算する場合には、A(〜) を計算するか、B(〜) を計算するか、条件に応じた2通りの分かれ道が2箇所あるので、場合分けも全部で4通りになるだろう、という判断になるわけです。

ということで、実際に数例計算して、それからまたNo.11597を見返してください。
No.11658 - 2010/09/22(Wed) 22:41:04
☆ Re: 合成関数のグラフ / bone
とてもご丁寧にありがとうござます。おかげで多分わかったと思います。
似たような問題でまた色々とトライしてみます。
なにかあったらまた教えて頂けると嬉しいです。
本当にありがとうございました！
No.11660 - 2010/09/22(Wed) 23:32:54