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記事No.12019に関するスレッドです
★ 高２　三角関数 / 数学苦手マン
x,yは0°≦x≦90°、0°≦y≦90°であり、cosx＋cosy=1を満たしている。
このとき、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2 を示せ。

cosx＋cosy=1に和積の公式をつかったら
2cos(x＋y/2)cos(x-y/2)＝1・・・?@
x-yの取り得る範囲は、-90°以上90°以下であるから。
-45°≦(x-y)/2≦45°よって1/√2≦cos(x-y)/2≦1
?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2

とあるのですが
最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。
また。
【x-yの取り得る範囲は〜】の部分で
x＋yの取り得る範囲を考えるとどうなるんでしょうか？
0°≦x＋y≦180°

0°≦(x＋y)/2≦90°
このときcos(x＋y)/2は(x＋y)/2=π/2で最小となり、0で最大となりますよね？
(半径1の単位円上ではcos(x＋y)/2 (x軸)がy軸と重なる部分が最小でx座標の1の部分にcos(x＋y)/2がくればこれが最大ということですよね？；)

本当に分からなくて困っています。
誰かわかるかたおしえてください。おねがいします。
No.12015 - 2010/10/21(Thu) 20:44:05
☆ Re: 高２　三角関数 / X
>>最後の【?@とから、1/2 ≦ cos(x＋y/2)≦1/√2】の部分が分かりません。

わかりづらいのであれば少し置き換えてみましょうか。
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置くと(1)は
2tu=1 (1)'
1/√2≦cos{(x-y)/2}≦1
は
1/√2≦u≦1 (2)
となり問題は(1)'(2)のときのtの値の範囲を求めることに帰着します。
ということで(1)'を用いて(2)からuを消去すると…。
No.12016 - 2010/10/21(Thu) 21:11:31
☆ Re: 高２　三角関数 / X
>>【x-yの取り得る範囲は〜】の部分で〜
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。
No.12017 - 2010/10/21(Thu) 21:17:59
☆ Re: 高２　三角関数 / 数学苦手マン
回答ありがとうございます。
最後にわからないところ
>>【x-yの取り得る範囲は〜】の部分で〜
確かにその通りですが、それだけでは条件式
cosx＋cosy=1
を使っていないので誤りです。

では、cosx＋cosｙ＝１を使えばx＋yから考えてもできるのでしょうか？
もしできるならどうやるのか教えてほしいです＞＜；
何度も申し訳ないです。
No.12018 - 2010/10/21(Thu) 21:38:49
☆ Re: 高２　三角関数 / X
結論から言うと、大回りになるだけです。

分かり易いようにここでも
t=cos{(x+y)/2},u=cos{(x-y)/2}
と置き換えて考えます。
このとき
cosx+cosy=1
より
2tu=1 (1)'
一方
0°≦x≦90°、0°≦y≦90°
から
0≦t≦1 (2)
1/√2≦u≦1 (3)
横軸にt、縦軸にuに取って(1)'(2)(3)を図示すると下のようになります。
この図から、(1)'(2)のときのuの値の範囲(赤の部分)が(3)の値の範囲から
はみ出ていることが分かります。
従ってtの値の範囲を求めるためには(3)の値の範囲を使う必要があり、
結局模範解答の過程に行き着きます。
No.12019 - 2010/10/21(Thu) 22:44:50