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記事No.12023に関するスレッドです
★ センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)
センター試験２００８年度数学?UＢの第１問ですが、（４）の設問の意味が分かりません。解説なども見てみたのですが、「正の周期のうち最小のものが４π」よりという部分が理解できないのです。「正の」周期があれば「負の」周期もあるのかとか、「最小のものが４π」ならば「次に小さいのは８π」なのか」とかいろいろ考えましたが行き詰まっています。

解説を見ても分からない程度ですので、何卒詳しい説明をお願いいたします。

添付したファイルは電送数学舎さまのホームページからダウンロードしたものです。
No.12022 - 2010/10/23(Sat) 10:11:17
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)
問題が添付できていなかったので、添付致しました。
よろしくお願いします。
No.12023 - 2010/10/23(Sat) 10:12:48
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / ToDa
周期云々について、正確な語の定義よりも、つまるところはこの出題者が何を言いたいのかということを考えてみてください。

たとえばxの関数sinxについて考えてみると、その周期は、2π、4π、6π……や、ほかにも
-2π、-4π、-6π……と、まあ無数にあるわけです。
これらの中で特に2πについて言及したい場合は、それを「正の周期のうち最小のもの」と表現しているのだ、ということを掴みましょう。
No.12025 - 2010/10/23(Sat) 14:02:56
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / angel
まずは問題文に分からない表現があり、先に進み辛いというところでしょうか。
日常会話で使うような日本語とは違い、数学では、特に問題として提示される文章では、曖昧な解釈をされないように表現をより厳密にする傾向があります。今回引っかかっているところも、そういったところから出ているように見えます。

こうした細かい点に気がつくのは良い事だと思います。しかし、拘りすぎて自縄自縛に陥るのは勿体無いと思います。

今回は「周期」についての解釈のお話になるかと思います。

ご存知の通り、sinx や cosx といった関数は、「周期」2πの関数です。おそらく、グラフに描いた場合に、同じ形状が延々一定間隔で繰り返されるイメージはあるかと思います。

このことを数式で表現するとすれば、つまり、sin,cos に限らず、周期2πの関数 f(x) の持つ性質を表すとすれば、

　任意の x に対して f(x+2π)=f(x)

です。
更に一般化すれば、周期 C というのは、「任意のxに対して f(x+C)=f(x)」ということになります。

しかしながら、実はこれだけでは曖昧なこともあります。
例えば、f(x)=sinx の場合、
　f(x+2π)=f(x)
でもありますが、同時に、f(x+4π)=f(x), f(x+6π)=f(x), … でもあるからです。
2π毎に同じ値をとるのであれば、その間隔を広げて4π毎にしたって、同じ値をとることには変わりはないのです。
つまり、上述の“C”にあたる値は幾通りもあることになります。

そうすると、より厳密さを求める場面では、
　任意のxに対して f(x+C)=f(x)が成立するような最小のC
でしょうか。
しかし、元々の“C”にあたる値は負の値もとりえますから、まだ不十分です。

結局、厳密な表現としては、
　f(x)の周期がC
　⇔ 任意のxに対して f(x+C)=f(x)が成立するような最小の正数がCである
というところに落ち着きます。

以上を鑑みると、単に「周期」といった場合、イメージするのは最後の表現で使った「最小の正数C」かもしれませんが、そう決まっている訳ではありませんから、曖昧さが生じることがあるのです。
実際問題として、「同じ値を繰り返す間隔」として「周期」を使う場合もありますから。その場合は、sinx の「周期」としては、2π以外に-2πや4πや6πといった値を持ってきても、間違いにはなりません。

ということで、そういった曖昧さを回避するために、「正」や「最小」といった文言で限定をしているのだと思います。
No.12026 - 2010/10/23(Sat) 14:30:16
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / angel
問題の解法としては、あまり多く言うべき事はなくて。

ある正数 k に対して、
　f(x)=sin(kx) の「周期」が C である
　⇔ C=2π/k
　※ここで言っている「周期」は「最小」で「正」のものです
というお話です。

例えば、sin(4x) ならば、x がπ/2変化しただけで、sin() の中が 2π変化して、sin自体は同じ値を繰り返しますから、周期は 2π÷4 ということになります。
つまり x の係数は逆数として働きます。

なお、k が正か負か確定していないのなら、
　C=2π/|k|
となります。
No.12027 - 2010/10/23(Sat) 14:38:11
☆ Re: センター試験過去問2008年度数?UＢ第１問 / Kay(高３女子)
ToDa様、angel様
御礼が大変遅れてしまい本当に申し訳ありませんでした。ありがとうございました！
No.12152 - 2010/11/08(Mon) 20:59:12