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記事No.12139に関するスレッドです
★ (No Subject) / ユキ
度々申し訳ありません…！

正八面体ABCDEFがある。動点Pは最初、頂点A上にあるが、
1回の操作で一辺を伝わり最も近い他の頂点に移動させる。
1回の操作で、最も近い頂点の中でどの頂点に移動させるかは
無作為に決める。この操作を繰り返し、点Pを移動させていく
場合、n回の操作が完了した時点で点Pが頂点A,B,C,D,E,Fにある
確率をそれぞれ、a(n),b(n),c(n),d(n),e(n),f(n)とする。
(1)数学的帰納法により、b(n)=c(n)=d(n)=e(n)(n≧1)を示せ。
(2)a(n+1),f(n+1)をb(n)で表し、また数列{b(n)}の漸化式を求めよ。
(3)a(n),b(n),f(n)を求めよ。

どう求めていけば良いか分かりません…。
宜しくお願いします…！
No.12139 - 2010/11/07(Sun) 20:27:20
☆ Re: / ヨッシー
(1)
n=0 のとき
　b(n)=c(n)=d(n)=e(n)＝0
n=k のとき、
　b(k)=c(k)=d(k)=e(k)
とするとき、
　b(k+1)＝{a(k)+c(k)+e(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
　c(k+1)＝{a(k)+b(k)+d(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
　d(k+1)＝{a(k)+c(k)+e(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
　e(k+1)＝{a(k)+b(k)+d(k)+f(k)}/4＝{a(k)+2b(k)+f(k)}/4
よって、
　b(k+1)=c(k+1)=d(k+1)=e(k+1)
となり、０以上の整数ｎについて、
　b(n)=c(n)=d(n)=e(n)
が成り立ち、ｎ≧１ に限っても、当然成り立つ。

(2)
　a(n+1)＝{b(n)+c(n)+d(n)+e(n)}/4＝b(n)
　f(n+1)＝{b(n)+c(n)+d(n)+e(n)}/4＝b(n)
よって、
　b(n+1)＝{a(n)+2b(n)+f(n)}/4
　　　＝{b(n-1)+2b(n)+b(n-1)}/4
　　　＝{b(n-1)＋b(n)}/2

(3)
　2b(n+1)＝b(n-1)＋b(n)　ただし、b(0)=0, b(1)＝1/4
変形して、
　2{b(n+1)-b(n)}＝-{b(n)-b(n-1)}
g(n)＝b(n)-b(n-1)　とおくと、g(1)＝1/4
　g(n+1)＝-g(n)/2
より、g(n) は初項1/4 公比-1/2 の等比数列となり、一般項は
　g(n)＝(-1/2)^(n+1)
b(n)-b(n-1)＝(-1/2)^(n+1)　は、b(n) の階差数列なので、
　b(n)＝b(0)＋Σk=1〜n(-1/2)^(k+1)
　　＝{1/2＋(-1/2)^(n+1)}/3

a(n)＝b(n-1)＝{1/2＋(-1/2)^n}/3　ただし、ｎ≧１
f(n)＝b(n-1)＝{1/2＋(-1/2)^n}/3　ただし、ｎ≧１
No.12140 - 2010/11/07(Sun) 21:21:57
☆ Re: / ユキ
ヨッシー様ありがとうございます！
質問なのですが、(1)で何故n=1ではなくn=0で最初示す
のでしょうか？
No.12143 - 2010/11/07(Sun) 22:37:32
☆ Re: / ヨッシー
１．n=0 の状態も、定義できること。
２．n=0 だけ特殊なわけでなく、n=0→1→2 という流れで、
　　漸化式を作ることが出来ること。
３．n=0 だと、a(n)＝1、b(n)＝・・・＝f(n)＝０と、簡単な
　　値になっていること。
また結果として、
４．階差数列の計算が楽であること（k=1〜n-1 ではなく、k=1〜n で、計算できる)
が、n=0 から始めた理由です。別にn=1 からでも問題ありません。
No.12149 - 2010/11/08(Mon) 00:42:55
☆ Re: / ユキ
懇切丁寧に教えて下さり、ありがとうございました！
おかげで理解することが出来ました＾＾
No.12170 - 2010/11/11(Thu) 00:34:48