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記事No.12244に関するスレッドです
★ (No Subject) / アカ犬
中心Ａ（０，a),半径1の円上の点Ｐ（cosθ、a+sinθ）についてθが１８０°≦θ≦３６０°の範囲を動くときの点Ｐの軌跡をＣとする。Ｃが不等式ｙ≧ｘ＾２のあらわす範囲にあるとき、a≧５/4であることを示せ。

解答はファイルのような感じなのですが、
なんで解答のグラフのように放物線と円が2点で接すると言えているのかが分かりません。というか、そもそも円と放物線が内部で接するとき、2点で重解を持つときは接する⇔Ｄ＝０は言えるが、一点で重解をもつ（この場合y=0)とき接する≠Ｄ＝０という事実を知っています。この問題の場合は、2点で重解をもつという条件ではないのだから安易に判別式＝０ですまないと思うのですが・・・。疑問が尽きません。
どなたかよろしくお願いします。
No.12244 - 2010/11/19(Fri) 23:54:07
☆ Re: / ヨッシー
円全体が、放物線より上にある(接する場合も含む)ときを
調べる問題です。
ａがずっと大きければ、円もずっと上の方に行くので、放物線より
上にあるのは明らかですが、では、ａをどこまで小さくできるか
を調べると、図のように、ぎりぎり接する状態を考えることになります。
No.12245 - 2010/11/20(Sat) 06:47:00
☆ Re: / angel
こういうイメージです。
断面が放物線状のコップにピンポン玉を落とすと、底までつかず、途中でひっかかる、その様子を見ているようなものです。
で、丁度ひっかかる所で、解答にあるyの2次方程式が重解を持つことになります。

ただし、ピンポン玉が十分小さければ、底まで到達します。
この問題の例で言えば、円の半径が1ではなく、1/2以下であれば、円が原点を通る場合がa最小になります。
No.12247 - 2010/11/20(Sat) 13:17:45
☆ Re: / アカ犬
要するに、この解答（赤本なのですが）では不十分だと言うことでいいんですよね？

赤本の解答では最初から2点で接するという前提でしか話を進めていないので。
No.12248 - 2010/11/20(Sat) 16:34:58
☆ Re: / angel
> 要するに、この解答（赤本なのですが）では不十分だと言うことでいいんですよね？

いいえ。そんな要約しないでください…。
例えば私の挙げた「ただし、ピンポン玉が十分小さければ、…」以降の説明は、これは問題の条件が変わった時のお話ですから、この解答が適切かどうかとは直接の関係はありません。

ただ、この解答は、個人的にはやや不親切だとは思います。
※といっても、模範解答というのはそういうものですけど。
なぜかというと、
　円（半円）全体が放物線より上にある
　⇒ 円が放物線の内側に接する時、a が最小
　⇒ 解答にあるyの2次方程式が重解を持つ
という論理の最後が、やや飛躍気味であるためです。
なぜ飛躍気味かと言うと、問題の条件が変わって円の半径がもっと小さくなると、成立しないことだから。なので、本音としては、「なぜ重解なのか」については説明が欲しいところです。

そうはいっても、この問題では「重解を持つ」というのは正しいですし、なぜ重解なのかを細かく説明するのは結構大変なので、そこまで解答としては求められないだろうと思います。なので、模範解答として、この解答が不十分だとは思いません。

もうちょっと深く掘り下げたいのであれば、円の半径が 1 ではなく、一般の数として r ( r＞0 ) にした場合を考えてみてください。
No.12249 - 2010/11/20(Sat) 17:10:03
☆ Re: / アカ犬
なぜ重解なのかを細かく説明するのは結構大変、とありましたがよかったら説明してもらえないでしょうか？
No.12250 - 2010/11/20(Sat) 20:49:15
☆ Re: / angel
うーん。一般の r ( r＞0 ) で考えれば見えてくるのですがね。

まず、放物線の底は原点なので、円の中心の位置を考えると、a≧1 が必要。
で、放物線と円が接している場合、共有点のy座標が満たす方程式は、解答にある通り y^2-(2a-1)y+(a^2-1)=0
同時に y=x^2≧0 なので、結局この yの2次方程式が、0以上の解を1つのみ持つことが必要十分。

ここで a=1 とすると、y の2次方程式の解は y=0,1 となるため不適。そのため、a＞1
よって2次方程式の係数として、-(2a-1)＜0, a^2-1＞0 であり、yの2次方程式が実数解を持つ場合は正となる。

ということで、yの2次方程式が2実数解を持つのは不適で、重解を持つことが分かる、となります。
No.12253 - 2010/11/20(Sat) 23:54:15