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記事No.12361に関するスレッドです
★ 方程式 / ドドラ
赤線を引いたところでx-1で割っていますが、0では割れないから、x-1=0のときとそうでないときで場合分けが必要なのではないでしょうか？
解答のようにそのままx-1で割っていいのですか？
No.12361 - 2010/12/05(Sun) 10:24:34
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
「割る」という言い方に、語弊があるかも知れませんが、
たとえば、
　(x-1)(x^2+bx+2)＝(x-1)(ax^2+2x+c)
が、恒等的に成り立つには？と聞かれれば、
　(x^2+bx+2)＝(ax^2+2x+c)
を調べますね？
x=1 の時は、成り立つのは明らかですが、それ以外の
あらゆるｘについても成り立つことを調べるわけです。

形としては、x-1 で割った形になっていますが、決して、
０で割ることを許しているわけではありません。
No.12362 - 2010/12/05(Sun) 12:29:48
☆ Re: 方程式 / らすかる
おそらく、大学入試までのこの手の問題においては
「g(x)も普通の多項式である」という暗黙の前提があるのでしょう。
その前提の上では、x^3f(x)=(x-1)g(x)は恒等式ですから
展開した時にまったく同じ多項式になり、
左辺が(x-1)P(x)という形になればP(x)とg(x)もまったく同じ形で
P(x)=g(x)が成り立ちます。
よって(x-1)で割っても問題なく、x-1=0を考慮する必要はありません。

g(x)が“普通の多項式”でない場合は、確かにx-1で割れません。
例えば f(x)=x^2+2x-3 として、g(x)は
g(x)=
x^4+3x^3　(x≠1)
1　(x=1)
のように場合分けで定義された関数だとすると
x≠1のとき
左辺は x^3(x^2+2x-3)=x^5+2x^4-3x^3
右辺は (x-1)(x^4+3x^3)=x^5+2x^4-3x^3
x=1のとき
左辺は x^3(x^2+2x-3)=0
右辺は (x-1)*1=0
となり、問題の条件を満たしています。
この場合はf(x)=x^2+2x-3なのでc≠a-1であり、
(2)の答えと合いません。
No.12364 - 2010/12/05(Sun) 13:05:19
☆ Re: 方程式 / angel
率直に言って、「割る」という言葉は不適切だと思います。
結果的には一緒だとしても。まあ、(x-1)の項が邪魔だったんでしょうけどね。

(x-1)( g(x)-x^3(ax+a+b) )=0 より、g(x)=x^3(ax+a+b) は x に関する恒等式

といったような表現にしておけば、ツッコミ所もないと思うのですが。
No.12367 - 2010/12/05(Sun) 13:46:15
☆ Re: 方程式 / ドドラ
納得しました。
ありがとうございました！
No.12369 - 2010/12/05(Sun) 20:43:30