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記事No.12481に関するスレッドです
★ (No Subject) / 受験生
おはようございます。
公立高校の過去問です。
（１）はなんとかできたんですが
（２）がさっぱり・・・相似を使うと思うんですが・・・
よろしくお願いします。
No.12477 - 2010/12/24(Fri) 09:57:25
☆ Re: / angel
そうですね。相似が鍵です。(1)はそのヒントと捉えることができます。
とはいえ、△EBD∽△FDAの相似比はすぐには分かり辛いので、△AEF∽△ABCの相似から考えていくのが良さそうです。
なぜ相似かというと、BCとEDが平行だから。この平行という条件は他にも色々と効いて来る強力な条件です。添付の図の左上に、相似の関係にある三角形を挙げています。

後、長さの条件も整理して置きましょう。添付の図の右上に、長さが等しくなる部分を色づけしています。赤については、△AEFが△ABCに相似で二等辺三角形になることから。紫については、問題文に書いてある条件そのまま。

で、△ABC∽△AEFの相似比を1:yとして、(2)-?@に取り組みます。なお目的のEFはxとしています。長さの比は添付の図の左下のような状況になります。
後は(1)の△EBD∽△FDAより、EB:ED=FD:FA すなわち ED・FD=EB・FA となることから方程式を。
ED=2EF、FD=EF、EB=(1-y)AB、FA=EA=yAB、EF=x=yBC を当てはめて、y,x を求めましょう。

最後に(2)-?Aは、面積を比較しやすい形に直すのが良さそう。添付の図右下のように、底辺・高さが同じ三角形を代わりに使います。つまり、△FDA=△AEF、△BCD=△FBC と面積の等しい三角形を考えます。
後は比較用に△EFBを動員すると考えやすいです。
なぜなら、△AEF:△EFB=AE:EB、△FBC:△EFB=BC:EF と、高さが共通な三角形は、底辺の比がそのまま面積の比になるからです。
△AEF=△EFB・AE/EB、△FBC=△EFB・BC/EF ということで、同じ△EFBを基準として比較することができます。
No.12481 - 2010/12/24(Fri) 20:56:08
☆ Re: / 受験生
詳しい解説ありがとうございました。
やっと納得することができました。
ただ?@でX,Yを使ったり、?Aで等積変形したりするのを
試験中にできるかどうか不安になりました・・
コツのようなものがありましたら教えてください。
No.12493 - 2010/12/25(Sat) 06:29:37
☆ Re: / angel
> ただ?@でX,Yを使ったり、?Aで等積変形したりするのを
> 試験中にできるかどうか不安になりました・・

方程式をたてるのは慣れですね。どんな問題でも方程式に持っていくことを意識しないといけません。
とはいえ今回、実際には x,y の2文字は必要ないです。
yを求めてから EF=yBC を計算するだけですから、本当は x を使わなくても良いのです。

ただ、敢えて x,y の2文字にしたのは、「求める答えが何か」を意識するためです。y を求めた時点で気が緩んで、y が答えだと勘違いすることもあるもので。それを防ぐための、まあ、ちょっとした個人的なおまじないです。

等積変形に関しては、特に△BCD→△BCF ( △BCEでも良い ) のように、高さがそのままで頂点だけ滑っていくようなイメージを意識してみるのも良いでしょう。
No.12494 - 2010/12/25(Sat) 09:28:45
☆ Re: / 受験生
アドバイスありがとうございました。
図形の問題も方程式を意識して取り組む練習をしてみます。
本当にありがとうございました。
No.12521 - 2010/12/27(Mon) 09:29:36