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記事No.12708に関するスレッドです
★ 大学入試過去問２ / TG
先ほどの問題の続きです
こちらも不鮮明なところは
ベクトルの内積「・」です。
No.12708 - 2011/01/11(Tue) 11:27:29
☆ Re: 大学入試過去問２ / ヨッシー
まず、解読から。

Ｏを中心とし、半径１と２の同心円Ｃ1, Ｃ2 がある。点Ｐは、Ｃ2 の内部および周を動くものとする。
(1)Ｃ1 の周上に点Ａがあるとき、
　ＯＡ・ＯＰ≧１
　を満たすようなＰの存在領域の面積は、[あ]π/[い]−√[う]　である。
　　※[あ] の前に何か付いていますが、解けば分かるでしょう。

(2)Ｃ1 の周上の点Ｂを適当に選ぶことで、ＯＢ・ＯＰ≧１ を満たすようにできるＰの存在領域の面積は、[え]πである。

(3)点Ｑ，Ｒが、ＯＱとＯＲのなす角を30°に保つようにＣ2の周上を動くとする。
　ＰがＣ1 の周上を動くとき、
　　ＯＰ・ＯＱ＋ＯＰ・ＯＲ
　の最大値は、√[お]＋√[か]　（ただし、[お]＜[か]）であり、そのとき、ＯＰとＯＱのなす角α(0°≦α≦90°)は[きく]°である。

※Ｃ1 と Ｃ2 が入れ違っているかも分かりません。
No.12710 - 2011/01/11(Tue) 18:01:49
☆ Re: 大学入試過去問２ / ヨッシー
(1)
Ａを(1,0)、Ｐを(x,y) とすると、
　ＯＡ・ＯＰ＝ｘ≧１
よって、半径２、中心角120度の扇形から、等辺が２で、間の角が
120度の二等辺三角形を引いた弓形が求める領域で、面積は、
(4/3)π−√3

(2)
(1) で、点Ａを固定せず、Ｃ1 上を移動できるとすると、
小円の外側かつ大円の内側にある点Ｐに対して、(1) で示したような
位置に点Ｂをおけば、
　ＯＢ・ＯＰ≧１
を満たすことが出来ます。よって、求める面積は、
　４π−π＝３π

(3)は、Ｃ1 と Ｃ2 がはっきりしてから解いた方が、楽なので、
質問者さんの反応を待ちます。
No.12713 - 2011/01/11(Tue) 22:00:19
☆ Re: 大学入試過去問２ / TG
ありがとうございます
疑問があるのですが
（１）はAを（１，０）にしていますが
　　　　たとえば（０，１）とか（‐１，０）とかのときは考えなくていいんですか？

あと（２）がイマイチわかりません。
もう少し説明いただければと・・・


（３）ですが
「点Ｑ，Ｒが、ＯＱとＯＲのなす角を30°に保つようにＣ１の周上を動くとする。
　ＰがＣ２ の周上を動くとき、
　　ＯＰ・ＯＱ＋ＯＰ・ＯＲ
　の最大値は、√[お]＋√[か]　（ただし、[お]＜[か]）であり、そのとき、ＯＰとＯＱのなす角α(0°≦α≦90°)は[きく]°である。」


です
No.12716 - 2011/01/12(Wed) 02:09:09
☆ Re: 大学入試過去問２ / ヨッシー
(1) は
　「Ｃ1 の周上に固定された点Ａがあるとき、」
と補足すれば、わかりやすいでしょうか？
(0,1)(-1,0) など、点Ａは色々な位置に来ますが、
そのそれぞれについて、Ｐの領域が決まります。

その面積は、点Ａがどこにあっても　(4/3)π−√3　となります。

(2) は逆に、点Ｐが大円内のある位置に固定されたとき、
点Ｂを小円の円周上の適当な位置に取れば、
　ＯＰ・ＯＢ≧１
が満たされればいいのです。

たとえば、点Ｐが図のように(1,1) にある場合は、点Ｂを、
小円周上の図のような位置に取れば、ＯＫです。
一方、点Ｐが小円の内部に来ると、点Ｂを小円周上のどの位置にとっても、
　ＯＰ・ＯＢ≧１
とはなりません。

(3)は、(1) と同様に
Ｑ(1,0)、Ｒ(√3/2, 1/2) などとおいて、点Ｐ(x,y) の
条件を出せば良いでしょう。
No.12717 - 2011/01/12(Wed) 06:56:57