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記事No.12842に関するスレッドです
★ 三角形 / はっち
△AoBoCoの内心をIoとし、その内接円と線分AoIo,BoIo,CoIoとの交点をそれぞれAi,Bi,Ciとする。次に△AiBiCiの内心をIiとし、その内接円と線分Ai,Bi,Ciとの交点をそれぞれAu,Bu,Cuとする。これを繰り返して△AnBnCnを作り、その内心をIn,∠BnAnCn=θ(n=0,1,2,…)とする。

(1)θn+1をθnで表せ。
(2)θnをθoで表せ。
(3)θo=2/3πのとき、?納n=0〜∞](θn-π/3)を求めよ。

どうやって解くかおしえてください。
No.12824 - 2011/01/23(Sun) 21:19:41
☆ Re: 三角形 / ヨッシー
図において、
∠ＢＩＣ＝180°−(●＋○)
　　　＝180°−(180°−∠ＢＡＣ)/2
　　　＝90°＋∠ＢＡＣ/2
(1)
これを本問に適用すると
　θn+1＝45°＋θn/4
となります。（円周角の関係を使ってます)

(2)
　θn+1＝45°＋θn/4
を変形すると
　θn+1−60°＝(1/4)(θn−60°)
φn＝θn−60°　とおくと
φn は、初項(第０項) φ0＝θ0−60°
公比1/4の等比数列。
　φn＝φ0(1/4)n
　θn＝(θ0−60°)(1/4)n＋60°

(3)
φ0＝60°の時にφn の無限級数を
計算するものなので、
　Ｓ＝??n=0〜∞φn
　　＝φ0＋φ1＋・・・
とおくと、
　(1/4)Ｓ＝φ1＋φ2＋・・・
上式から下式を引いて
　(3/4)Ｓ＝φ0
　　Ｓ＝(4/3)×60°＝80°＝4π/9
No.12842 - 2011/01/25(Tue) 08:02:29
☆ Re: 三角形 / はっち
(3)
φ0＝60°の時にφn の無限級数を
計算するものなので、


φ0＝60°じゃなくてθo=2/3πなので120°じゃないんですか?
No.12844 - 2011/01/25(Tue) 11:39:54
☆ Re: 三角形 / ヨッシー
θ0＝120°なので、
φ0＝θ0−60°＝60°　です。

つまり、
　θo=2/3πのとき、?納n=0〜∞](θn-π/3)を求めよ。
は、
　φ0=1/3πのとき、?納n=0〜∞]φn を求めよ。
と書き換えることが出来ます。
No.12848 - 2011/01/25(Tue) 16:28:44
☆ Re: 三角形 / はっち
わかりやすい説明ありがとうございます
No.12850 - 2011/01/25(Tue) 19:53:17