a.b.p.qは全てベクトルで、大きさを表すときはlal,lbl,lpl,lqlのように表すことにします。
平面上の二つのベクトルa,bがla+２bl=1,l-3a+bl=1を同時に満たしながら変化するときla+blの最大値を求めよ。
解）を写すと、
a+2p=p・・?@
-3a+b=q・・?A
とおくとlpl=lql=1・・・?B
?@かつ?A⇔?@−?A×２かつ?@×３＋?A
⇔a=(1/7)(p-2q)・・・?C,b=(1/7)(3p+q)・・・?D
よってla+bl=l?C＋?Dｌ＝(1/7)l4p+(-q)l
≦(1/7)｛l4pl+l-ql}=(1/7)(4lpl+lql)=5/7
『等号は4pと-qが同じ向きのときに成り立つ』から
la+blの最大値は5/7
『 』が疑問に残ります。本当に成り立つのかどうか。本当に4pと-qが同じ向きになり得るp,qが存在するのかどうか。
確かに等号が成り立つと仮定すれば、4pと-qが同じ向きのときしか有り得ませんが。
参考：解答には「?@かつ?A⇔?Cかつ?Dなのでp,qは?Bをみたすように自由に動けます」とありました。この意味が分からないことが原因なのかもしれません。
かなり難しい質問かもしれませんが、どなたかよろしく御願いします。
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No.13175 - 2011/02/18(Fri) 16:55:57
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