△ＡＢＣの３辺の中点Ｄ、Ｅ、Ｆのそれぞれを通って
△ＡＢＣの内接円に引いた接線がＥＦ、ＦＤ、ＤＥとそれぞれ
Ｐ、Ｑ、Ｒで交わるとすると、3点Ｐ、Ｑ、Ｒは同一直線上にある。
この事を証明せよという問題です。
先日の質問からアドバイスをいただいたり自分で考えたものの
どうしてもわかりません。
よろしくお願いします。
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No.13355 - 2011/03/05(Sat) 21:54:35
| ☆ Re: 円と角度 / angel | | | なかなかに面倒な問題ではあります。
恐らく、内接円が絡む以上、三角比を使わないと解けないでしょう。というわけで、余弦定理を学習済みという前提で話を進めます。
ちなみに、問題文の図のような状況になるように、a＞b＞c で考えます。（それで一般性を失わない）
なお、二等辺三角形や正三角形ではそもそも問題が成立しません。
まずはどうやって「一直線」を示すか。取り敢えず円のことは忘れて図を眺めると、実はメラネウスの定理と同じ形をしていることに気付きます。(添付図の上段左)
なので、逆バージョン
EP/FP・FQ/DQ・DR/ER=1 ⇒ P,Q,Rは一直線上
これを最終目標としましょう。
ただ、P,Qが三角形DEFの辺上とは限りません。（添付図の上段右のパターン）それでも、同じ等式を示せばO.K.です。
※E,P、D,Qが一致する場合はメラネウスは使えませんが、明らかに一直線上に来るので問題なし。
では、EPの長さはどうするか。
直感的に、EPを直接求めるのが難しそうなので、DPとACの交点（Lとする）に焦点をあてます。（添付図中段、左右）
今回、いたるところに平行四辺形ができていますから、三角形の相似もできていて、
EP/FP = EL/DF = |CL-CE|/CE = |CL/CE - 1|
絶対値にしたのは、LがEよりもA,Cどちらよりにあっても対応できるように、です。
これで、後はLの位置さえ分かれば、という所まできました。
ようやっと内接円の性質の出番です。（添付図下段）
まず、AT=AU, BU=BS, CS=CT というところから、
CS=CT=1/2・(a+b-c)
DはBCの中点ですから、CD=a/2
また同じ色で塗った直角三角形はそれぞれ合同ですから、
DV=DS, LV=LT
ここから、CL=x, CD=a/2, LD=a/2+b-c-x という3辺をもつ△CDLに関する余弦定理
x^2+(a/2)^2-(a/2+b-c-x)^2-2・x・a/2・cosC=0
が成立します。
一方、△ABCに関する余弦定理 cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab) もありますから cosC が消去でき、x=CL を求めることができます。
以上の話をQ,Rについても考えて組み合わせれば、証明に辿り着けるはずです。
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No.13371 - 2011/03/08(Tue) 00:21:15 |
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