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記事No.13615に関するスレッドです
★ 合成関数の微分と置換 / rio
添付の問題＆解答についてです。
解答の最後の（注）の内容がわかりません。

g(f(x))について、f(x)=tとおいたときg(x)の「x」に対する変化を調べるには　dg(f(x))/dxを求めることが必要で、
dg(f(x))/dx=g'(f(x))=dg(t)/dt・dt/dx となることは合成関数の微分ということで理解しています。

注の内容は

g(f(x))について、f(x)=tとおいたときg(t)の「t」に対する変化を調べるには　dg(f(x))/dtを求めることが必要で、
dg(f(x))/dt=dg(t)/dx・dx/dt となる

という説明だとおもうのですが、g(t)の「tに対する変化」を調べるには単純にdg(t)/dt を考えてはいけないのでしょうか。

なぜ、注にあるようにg'(x)=(1-t)(2t+1)を考えてはいけないのかがわかりません。

宜しくお願いいたします。
No.13615 - 2011/04/30(Sat) 19:17:39
☆ Re: 合成関数の微分と置換 / X
g'(x)=(1-t)(2t+1) (A)
はg(x)の「xによる導関数」においてcosx=tと
置いたのであって、g'(x)の「xに関する増減」を
調べるためのの置き換え
(例えば、g'(x)≧0をtの不等式と見て解いて
tの値の範囲を求め、置き換えを元に戻して
g'(x)≧0となるxの値の範囲を求める)
であれば問題ありませんが、(A)は
g(x)の「tによる導関数」つまりdg(x)/dt
とは全くの別物です。

仮に(A)におけるtがxに関して単調増加であれば
(A)の符号の変化をtに関してのみ考えても
問題ありませんがこの問題の場合は
t=cosx (0<x<π)
ですのでtはxに関し単調減少です。
従って、g'(x)の符号の変化がxの増加に対する場合と
tの増加に対する場合とでは逆になり、注の通り
g(x)はt=-1/2のときに「(最大ではなく)最小」になる
という誤った結論が出てしまいます。
No.13617 - 2011/04/30(Sat) 21:28:49
☆ Re: 合成関数の微分と置換 / rio
早速のご回答ありがとうございました。
>(A)は
g(x)の「tによる導関数」つまりdg(x)/dt
とは全くの別物です。

この点ですが、結果として違ってしまうことはわかりましたが、なぜ別物になってしまうのでしょうか？
文字を置き換えて、その文字で微分するというのは、単に記述法を変えただけのように思えます。
f(cosx)をcosxで微分するというのは、f(t)をtで微分することとどこで違って来るのでしょうか。

dg(f(x))/dt=dg(f(x))/dx・dx/dt

をきちんと理解できていないということなのだと思いますが、宜しくお願い致します。
No.13638 - 2011/05/02(Mon) 06:06:21