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記事No.13698に関するスレッドです
★ 再度質問です / ハオ
共通部分についての説明がいまいちよく分かりません。書籍を読んでもどれも文章ばかりで図で説明してくれません。もし図で説明できるなら図で教えて下さい。
x(not)∈∩{A_α;α∈J｝
⇔∃α_0∈J s.t x(not)∈A_α0
がドモルガンの証明に出てくるのですが、この部分も図で教えて下さい。
そもそも「⇔∃α_0∈J s.t x(not)∈A_α0」
の解釈は
「xがA_α0に含まれないようなα0(∈J）が存在する」
でいいんですよね？
合併集合については理解できました。
No.13695 - 2011/05/07(Sat) 08:08:47
☆ Re: 再度質問です / angel
話の内容自体は、高校の時とそれほど大きく変わっているわけではないので、注意して読み解けば理解できると思います。

単純な形として、2つの集合の場合

　x∈A∩B ⇔ x∈A かつ x∈B
　否定形： x not∈ A∩B ⇔ x not∈A または x not∈ B

は高校の知識でできるはずです。ここまでは良いでしょうか。

次に、これを複数にすると、

　x∈A1∩A2∩…∩An ⇔ x∈A1 かつ x∈A2 かつ … かつ x∈An
　⇔ 任意の i ( 1≦i≦n ) に対して x∈Ai
　　( ∀i ( 1≦i≦n ) x∈Ai )

　ちなみに、最初の式は x∈∩[i=1,n] Ai とも書けますね。Σと同じで、∩の下に i=1 上に n という表記だと思ってください。
　否定形は、
　x not∈ ∩[i=1,n] Ai ⇔ x not∈ A1 または x not∈ A2 または … または x not∈ An
　⇔ ある i ( 1≦i≦n ) に対して x not∈ Ai
　　( ∃i ( 1≦i≦n ) s.t. x not∈ Ai )

さて。ここで集合 I を、I={1,2,…,n} としてみましょうか。
そうすると、1≦i≦n というのは、i∈I と同じことですから、上の形は、
　x∈∩[i∈I]Ai ⇔ 任意の i∈I に対して x∈Ai ( ∀i∈I x∈Ai )
　否定形： x not∈ ∩[i∈I]Ai ⇔ ある i∈I に対して x not∈ Ai ( ∃i∈I s.t. x not∈ Ai )
と書き直すことができます。

…どうでしょうか。ハオさんの挙げた形と同じであると思えるでしょうか。ただ一つ違いがあるとすれば、上の I は 1〜n の自然数の集合であるのに対し、元の J は自然数の集合とは限らない所です。
No.13698 - 2011/05/07(Sat) 22:01:14
☆ Re: 再度質問です / ハオ
返信遅れて申し訳ありません
順序立てて説明していただきありがとう御座います
理解できました
No.13744 - 2011/05/12(Thu) 23:01:37