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記事No.13743に関するスレッドです
★ (No Subject) / まいけ
やり方を説明して下さい。高二です

3桁の整数のうち、4の倍数、9の倍数、4でも9でも割り切れない数、9で割り切れるが、36で割り切れない数の個数を求めよ。
答え、順に225,100,600,75個 です。

Uを全体集合とし、その部分集合A、Bを考える。
n(U)=100,n(A)=83,n(B)=71,n(AかつBじゃないもの)=mのとき、mの範囲、また、n(AじゃないものかつB)=7となるmの値を求めよ。
集合の記号がわからなかったのでひらがなで書きました。
答え、12≦m≦29、n=7 です。
No.13734 - 2011/05/12(Thu) 00:50:11
☆ Re: / X
(大問１問目)
999÷4=249余り3
99÷4=24余り3
ですので
3桁の整数のうち、4の倍数であるものは
249-24=225[個] (A)
3桁の整数のうち、9の倍数の個数 (B)
についても同様の計算です。
次の２つの値ですが、これを求める前に
3桁の整数のうち、4と9の公倍数の個数
つまり
3桁の整数のうち、36の倍数の個数 (C)
を求めます。
すると
(4でも9でも割り切れない数の個数)
=(３桁の整数の個数)-(A)-(B)+(C)
(9で割り切れるが、36で割り切れない数の個数)
=(B)-(C)
で計算できます。
No.13736 - 2011/05/12(Thu) 12:01:08
☆ Re: / X
(大問２問目)
例えばAの補集合をA￣と書くことにします。
又
n(U)=100 (A)
n(A)=83 (B)
n(B)=71 (C)
とします。

前半)
n(A∩B￣)=m (D)
とします。
(A)(C)より
n(B￣)=n(U)-n(B)=29 (E)
∴n(A∪B￣)=n(A)+n(B￣)-n(A∩B￣)
=112-m (E)
さて、(B)(C)(E)より
n(A)+n(B￣)>n(U)
n(A)>n(B)
に注意してベン図を考えると
A⊆A∪B￣⊆U
∴n(A)≦n(A∪B￣)≦n(U) (F)
(A)(B)(C)(E)を(F)に代入してmについての不等式を立てて解きます。

後半)
n(A￣∩B)=7 (G)
とします。
n(A)=n(A∩(B∪B￣))
=n((A∩B)∪(A∩B￣))
=n(A∩B)+n(A∩B￣)-n((A∩B)∩(A∩B￣))
=n(A∩B)+n(A∩B￣)-n(A∩(B∩B￣))
=n(A∩B)+n(A∩B￣) (H)
同様に
n(B)=n(A∩B)+n(￣A∩B) (I)
(H)(I)に(B)(C)(G)を代入して、n(A∩B),mについての
連立方程式を立てて解きます。
No.13738 - 2011/05/12(Thu) 12:58:27
☆ Re: / X
補足しておきます。
記号⊆ですが、これは⊂の下に＝がついている記号
と同じ意味です。
No.13739 - 2011/05/12(Thu) 13:02:58
☆ Re: / angel
2問目を例にいきますが、添付の図のような表を書くのがわかりやすいです。
横一列で見た場合、一番右のマスが左2マスの合計に、
縦一列で見た場合、一番下のマスが上2マスの合計になるのがミソ。
2問目では、n(U),n(A),n(B),n(A∩~B)がわかっているので、それを書き込んであげると、あいている部分が芋づる式に分かってくるのです。
※ここでは、補集合は ~ を使って表現しています。( 正しくは、集合の記号の上に棒線 )
No.13743 - 2011/05/12(Thu) 20:48:47