[ 掲示板に戻る ]
記事No.14338に関するスレッドです
★ ｎが２から始まる漸化式 / 森永
a(n)=2a(n-1)-5(n=2,3,4,・・・）で定まる数列｛a(n)｝の一般項を求めよ。
答えはa(n)=2^n+5なのですが、計算で答えを出した後にn=1の吟味が必要かどうかが分かりません。

a(n)=2a(n-1)-5・・?@
∴a(n)-5=2{a(n-1)-5}・・?A
∴a(n)-5=2＾(n-1){a(1)-5}・・?B
∴a(n)=2^n+5・・?C
?@は問題文にあるようにｎ≧２
?Aは?@と同値なのでｎ≧２
?@）?Bがｎ≧２なら?Cもｎ≧２で最後にｎ＝１でも成り立つか吟味が必要
?A）?Bがｎ≧１なら?Cもｎ≧１でｎ＝１の吟味は不必要。

?@）?A）のどちらになるのか、そしてその理由を教えて下さい。よろしく御願いします。
No.14324 - 2011/07/24(Sun) 06:50:11
☆ Re: ｎが２から始まる漸化式 / X
元の漸化式である(1)はn≧2のときに成立します。
よってi)になります。
No.14325 - 2011/07/24(Sun) 08:08:28
☆ Re: ｎが２から始まる漸化式 / 森永
なぜ?Bの式がｎ≧２でのみ成り立つ式といえるのですか？
No.14330 - 2011/07/24(Sun) 16:50:13
☆ Re: ｎが２から始まる漸化式 / angel
ちょっと待ってください。
?Bは、もともと「n≧1 で成り立つ式」ではないですか。
つまり、?@,?Aはn≧2でのお話ですが、?Bからはn≧1の話に変わっています。
※なので、元々の森永さんの質問への回答は?A）となります。

というのは、?@,?Aというのはa(n-1)とa(n)の関係を表す式 ( 要するに漸化式 ) なので、n≧2 ということは a(1),a(2) の関係、a(2),a(3) の関係、a(3),a(4) の関係、…というのを、一つの式にまとめている訳です。

で、それを受けて?Bではもう「関係」を表す式ではなく、個々の項を表す式 ( 要するに一般項 ) に変わっています。
a(1)-5 というのが等比数列だということが?Aで分かっているので?Bのような表現ができて、その範囲は初項から ( つまり n≧1 において ) ということです。

?A,?Bで表現している部分を添付の図の中で赤く色づけしてみましたので、そちらもご覧になってください。
No.14332 - 2011/07/24(Sun) 17:50:33
☆ 解答の書き方 / angel
なお、解答の書き方としてですが。

?@→?Aや、?B→?Cというのは、両辺を足したり引いたりしてまとめ直したり、a(1)の値を具体的に代入したりといった変形なので、式の意味自体は変わっていませんが、?A→?Bの変形ではガラリとその意味が変わっています。
※漸化式→一般項と変わっているため。
実際、適応範囲も n≧2 から n≧1 と変わりますし。

なので、式をそのまま並べるだけだと誤解を与える解答になりかねません。なにか一言添えた方が良いでしょう。

例えば、次のように書き換えるだけでもずいぶんと違います。
--
問題の条件より n≧2 において a(n)=2a(n-1)-5・・?@
∴a(n)-5=2{a(n-1)-5}・・?A
これは、a(n)-5 が公比2の等比数列であることを表す。
∴n≧1において a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}・・?B
∴a(n)=2^n+5・・?C
No.14333 - 2011/07/24(Sun) 18:03:16
☆ 回答有難うございます / 森永
ということは、
a(n)-5=2{a(n-1)-5}（ｎ≧１０）,a(4)=21
という問題設定でも
a(n)-5=2^(n-1){a(４)-5}（ｎ≧１）が
いえる

つまりa(n)-5=2{a(n-1)-5}が言えた時点で
-∞から∞のｎ（ｎ：整数）において｛a(n)-5｝
は等比数列と言える。

つまりa(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}＝2^n{a(0)-5}=・・
＝2^(n+7){a(-7)-5}=・・・

つまり、a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}は本来全てのｎで成り立つが、a(n)（ｎ≧１）を求めよ。だから14333の記事の最後から二行目は
『n≧1において 』a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}・・?B
と書いている。

という理解であっていますか？
No.14334 - 2011/07/24(Sun) 18:55:59
☆ Re: ｎが２から始まる漸化式 / angel
> ということは、
…(中略)…
> つまりa(n)-5=2{a(n-1)-5}が言えた時点で
> -∞から∞のｎ（ｎ：整数）において｛a(n)-5｝
> は等比数列と言える。

いいえ。それは流石に極端です。
先ほどの問題で「n≧1 において a(n)-5=2^(n-1){a(1)-5}」が成立しているのは、
　a(1)-5,a(2)-5の間、a(2)-5,a(3)-5の間、a(3)-5,a(4)-5の間、…
という範囲で「比が一定」という関係が分かっていたからです。

もし例のように a(n)-5=2{a(n-1)-5}（ｎ≧１０）という状況であれば、この「比が一定」という関係は、
　a(9)-5,a(10)-5の間、a(10)-5,a(11)-5の間、a(11)-5,a(12)-5の間、…
の範囲でしか明らかになっていません。
そのため、a(9)-5,a(10)-5,a(11)-5,a(12)-5,… が等比数列であることは断定できますが、それ以前の項については情報不足で決定できません。今回添付した図と、前回添付した図を比べてください。
※そのため、n≧9 において a(n)-5={a(9)-5}・2^(n-9) という一般項なら導けますが、n＜9 の部分は不明のままなのです。

あくまでも、機械的にn≧1と範囲を書き直せるわけではなくて、どこからどこまで関係が明らかになっているか、その範囲が重要なのです。
No.14338 - 2011/07/24(Sun) 22:16:22