よろしくお願いします！！
（２）からわかりません。
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No.14608 - 2011/08/16(Tue) 15:37:06
| ☆ Re: 高３ 漸化式 / ヨッシー  | | | (1) ｘ1＝1/3 はいいですね？
すると、Ｑ1：(2/3, 0)となり、この点を通って、傾き√3の
直線を引き、Ｃとの交点を調べると、
Ｐ2：(4/3, 2√3/3)
このとき、Ｑ2：(6/3, 0)となります。同様に、
Ｐ3：(9/3, √3)、Ｑ3：(12/3, 0)
Ｐ4：(16/3, 4√3/3)、Ｑ4：(20/3, 0)
が得られ、Ｑn：(n(n+1)/3, 0)、
ｘn＝{n(n-1)/3＋n(n+1)/3}/2＝n^2/3 と推測できます。
ｎ＝１ のとき、ｘn＝n^2/3 は成り立つ。
ｎ＝ｋ のとき、ｘk＝k^2/3 とすると、
Ｑk(k(k+1)/3, 0) から引いた傾き√3の直線とＣとの交点は、
((k+1)^2/3, (k+1)√3/3)
となり、ｘn＝n^2/3 のn=k+1 の場合に相当します。
よって、ｘn＝n^2/3 は、任意の自然数に付き成り立ちます。
・・・・(2) の答え、
このとき、ＯＰ1＝ＯＱ1＝2/3 であり、ｎ≧2 に対して
ＱnＱn-1＝n(n+1)/3−n(n-1)/3
＝2n/3
これは、原点に近い方から、ｎ番目の正三角形の１辺の長さを
表しており、これを Ｌn とします。
このとき、余弦定理より、
Ｐn-1Ｐn^2＝Ｌn-1^2＋Ｌn^2−Ｌn-1・Ｌn
＝(4/9)(n^2-n+1)
これは、ｎ＝１ の場合にも成り立ちます。
よって、
(3) の与式＝lim(1/n^3)(4/9){n(n+1)(2n+1)/6−n(n+1)/2＋n}＝(4/9)(2/6)＝4/27 ・・・(3) の答え
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No.14609 - 2011/08/16(Tue) 21:34:40 |
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