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記事No.14648に関するスレッドです
★ (No Subject) / あいす
問題は以下の通りです。
答えは−２５/１６です。

複素数平面を用いて解く方法が分かりません。
No.14648 - 2011/08/18(Thu) 23:50:55
☆ Re: / 豆
掲示板にアップするには、力ずくで美しくない答案例
なので、気が引けますが・・・

z^2-2z-w=0の2次方程式を満足する2根をα、βとすると、
α+β=2より、a,bを実数とすれば、
α=1+a+ib、β=1-a-ib　とおける、
|α|^2=(1+a)^2+b^2≦(5/4)^2
|β|^2=(1-a)^2+b^2≦(5/4)^2
これらを満たす領域は、円の一部が重なった原点が中心のレンズ状の
形状の周囲を含めた内部である。
よって、zはそれを1右にずらした1を中心としたレンズ形状内部であり、
α、βは1を中心とした点対称の位置に存在する。

対称性から、αは周囲も含めた右上1/4の形状内と考えてよい。
αの絶対値をr、実部をxとすれば、
α=x+i√(r^2-x^2)
β=2-x-i√(r^2-x^2)　　なので、
|w|^2=|-αβ|^2=r^2((2-x)^2+(r^2-x^2))
　　=r^2(4-4x+r^2)
これが最大値となるのは
rが最大値の5/4（レンズの外周は原点中心の円）、xが最小値の1のときである
（α、βはレンズの先の尖った2点）
このとき、w=-αβ=-25/16
No.14676 - 2011/08/20(Sat) 15:25:57