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記事No.14958に関するスレッドです
★ (No Subject) / 桜
1辺の長さが3の正三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上にＡＤ=2となる点Ｄを，またＡＣ上に点Ｅをとる。
線分ＤＥに関して△ＡＤＥを折り返したところ，頂点Ａが辺ＢＣ上の点Ｆの位置にきた。
このとき，次の問いに答えよ。

(1)△ＢＦＤ∽△ＣＥＦであることを証明せよ。
(2)(1)で証明したことから，ＢＦ=ｘ，ＡＥ=ｙとして，ｙをｘの1次式で表せ。またＣＥをｘの1次式で表せ。
(3)ＢＦの長さを求めよ。


よろしくお願いします?ﾗ?ﾗ
No.14956 - 2011/09/09(Fri) 09:37:49
☆ Re: / ヨッシー
(1)
∠ＢＤＦ＝ａ、∠ＣＥＦ＝ｂ　とおくと、
　ａ＋ｂ＝120°
が言えれば、相似であると言えます。
図において、●＋○＝120°
　●＋●＋ａ＝180°
　○＋○＋ｂ＝180°
であり、
　２(●＋○)＋ａ＋ｂ＝360°
　ａ＋ｂ＝360°−２×120°＝120°
となり、
　∠ＤＦＢ＝∠ＣＥＦ＝ｂ
よって、２角相等より
　△ＢＦＤ∽△ＣＥＦ
が言えます。

(2)
ＡＤ＝ＤＦ＝２　であることと、(1)の結果から、
　ＢＤ：ＤＦ＝ＣＦ：ＥＦ＝１：２
よって、ＡＥ＝ＥＦ＝ｙ　から
　ＦＣ＝ｙ／２
となり、　ｘ＋ｙ／２＝３(以下略)
ＣＥを・・・も（略）です。

(3)△ＢＤＦと△ＣＦＥの相似比は、
　ＢＤ：ＣＦ＝１：y/2＝１：(3-x)
なので、
　ＣＥ＝ＢＦ×(3-x)＝x(3-x)
これが、(2) で求めたＣＥと等しいので、
　x(3-x)＝・・・
これを解いて、ＢＦ＝ｘ＝(１＋√13)/2
No.14958 - 2011/09/09(Fri) 10:33:19