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記事No.15278に関するスレッドです
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微分の問題
/ shun
引用
2つの放物線C1:y=-x^2,C2:y=3(x-1)^2+aについて、
C1,C2の両方に接する直線が2本存在するためのaの条件を求めよ。
宜しくお願いします。
No.15277 - 2011/10/02(Sun) 17:38:47
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Re: 微分の問題
/ ヨッシー
引用
図の赤い位置(=両放物線が1点で接している)よりも上だと、
共通接線は存在しません。
青のような位置(=赤より下)だと、共通接線が2本存在します。
y=x^2 と y=3(x−1)^2+a をそれぞれ微分すると
y’=2x と y’=6(x−1)
ですが、x座標が同じで、微分係数が等しいx座標を求めると、
2x=6(x−1)
より x=3/2。このとき
x^2=9/4
3(x−1)^2+a=3/4+a
この両者が等しいとき両放物線は1点で接するので
a=3/2
よって、a<3/2
No.15278 - 2011/10/02(Sun) 18:47:08
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Re: 微分の問題
/ angel
引用
ヨッシーさん、ダウト。
C1: y = - x^2
とありますよ。
後、共通接線も2本です。
No.15280 - 2011/10/02(Sun) 18:56:39
☆
Re: 微分の問題
/ のぼりん
引用
こんばんは。 横から失礼します。 別法を示してみます。
C
1
の x=u における接線は、
y=−2u(x−u)−u
2
=−2ux+u
2
C
2
の x=v における接線は、
y=6(v−1)(x−v)+3(v−1)
2
+a=6(v−1)x−3v
2
+3+a
です。 二つの接線が一致することから、
−2u=6(v−1) … ?@
u
2
=−3v
2
+3+a … ?A
です。 題意が成り立つためには、?@、?A の連立方程式が、異なる二つの実解の組 (u,v) を持つことが必要十分です。 ?@ を ?A に代入し、u を消去すると、
3
2
(v−1)
2
=−3v
2
+3+a
12v
2
−18v+6−a=0 … ?B
?B が異なる二つの実解を持つための同値条件として、
D/4=9
2
−12(6−a)=3(3+4a)>0
a>−3/4
と、答えが得られました。
No.15281 - 2011/10/02(Sun) 19:10:35
☆
Re: 微分の問題
/ ヨッシー
引用
あれ?マイナスが付いてましたか。
じゃ、私の記事は、サクッと無視してください。
失礼しました。
No.15282 - 2011/10/02(Sun) 19:13:13