[ 掲示板に戻る ]

記事No.15278に関するスレッドです

微分の問題 / shun
2つの放物線C1:y=-x^2,C2:y=3(x-1)^2+aについて、
C1,C2の両方に接する直線が2本存在するためのaの条件を求めよ。

宜しくお願いします。

No.15277 - 2011/10/02(Sun) 17:38:47

Re: 微分の問題 / ヨッシー
図の赤い位置(=両放物線が1点で接している)よりも上だと、
共通接線は存在しません。
青のような位置(=赤より下)だと、共通接線が2本存在します。

y=x^2 と y=3(x−1)^2+a をそれぞれ微分すると
 y’=2x と y’=6(x−1)
ですが、x座標が同じで、微分係数が等しいx座標を求めると、
 2x=6(x−1)
より x=3/2。このとき
 x^2=9/4
 3(x−1)^2+a=3/4+a
この両者が等しいとき両放物線は1点で接するので
 a=3/2
よって、a<3/2

No.15278 - 2011/10/02(Sun) 18:47:08

Re: 微分の問題 / angel
ヨッシーさん、ダウト。
C1: y = - x^2
とありますよ。
後、共通接線も2本です。

No.15280 - 2011/10/02(Sun) 18:56:39

Re: 微分の問題 / のぼりん
こんばんは。 横から失礼します。 別法を示してみます。

の x=u における接線は、
   y=−2u(x−u)−u=−2ux+u
の x=v における接線は、
   y=6(v−1)(x−v)+3(v−1)+a=6(v−1)x−3v+3+a
です。 二つの接線が一致することから、
   −2u=6(v−1)  … ?@
   u=−3v+3+a … ?A
です。 題意が成り立つためには、?@、?A の連立方程式が、異なる二つの実解の組 (u,v) を持つことが必要十分です。 ?@ を ?A に代入し、u を消去すると、
   3(v−1)=−3v+3+a
   12v−18v+6−a=0 … ?B
?B が異なる二つの実解を持つための同値条件として、
   D/4=9−12(6−a)=3(3+4a)>0
   a>−3/4
と、答えが得られました。

No.15281 - 2011/10/02(Sun) 19:10:35

Re: 微分の問題 / ヨッシー
あれ?マイナスが付いてましたか。
じゃ、私の記事は、サクッと無視してください。

失礼しました。

No.15282 - 2011/10/02(Sun) 19:13:13