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記事No.15278に関するスレッドです
★ 微分の問題 / shun
２つの放物線C1:y=-x^2,C2:y=3(x-1)^2+aについて、
C1,C2の両方に接する直線が２本存在するためのaの条件を求めよ。

宜しくお願いします。
No.15277 - 2011/10/02(Sun) 17:38:47
☆ Re: 微分の問題 / ヨッシー
図の赤い位置（＝両放物線が１点で接している）よりも上だと、
共通接線は存在しません。
青のような位置(＝赤より下)だと、共通接線が２本存在します。

ｙ＝ｘ^2　と　ｙ＝３(ｘ−１)^2＋ａ をそれぞれ微分すると
　ｙ’＝２ｘ　と　ｙ’＝６(ｘ−１)
ですが、ｘ座標が同じで、微分係数が等しいｘ座標を求めると、
　２ｘ＝６（ｘ−１）
より　ｘ＝３／２。このとき
　ｘ^2＝９／４
　３(ｘ−１)^2＋ａ＝３／４＋ａ
この両者が等しいとき両放物線は１点で接するので
　ａ＝３／２
よって、ａ＜３／２
No.15278 - 2011/10/02(Sun) 18:47:08
☆ Re: 微分の問題 / angel
ヨッシーさん、ダウト。
C1: y = - x^2
とありますよ。
後、共通接線も2本です。
No.15280 - 2011/10/02(Sun) 18:56:39
☆ Re: 微分の問題 / のぼりん
こんばんは。 横から失礼します。 別法を示してみます。

Ｃ１ の ｘ＝ｕ における接線は、
　　　ｙ＝−２ｕ（ｘ−ｕ）−ｕ２＝−２ｕｘ＋ｕ２
Ｃ２ の ｘ＝ｖ における接線は、
　　　ｙ＝６（ｖ−１）（ｘ−ｖ）＋３（ｖ−１）２＋ａ＝６（ｖ−１）ｘ−３ｖ２＋３＋ａ
です。 二つの接線が一致することから、
　　　−２ｕ＝６（ｖ−１）　　…　?@
　　　ｕ２＝−３ｖ２＋３＋ａ　…　?A
です。 題意が成り立つためには、?@、?A の連立方程式が、異なる二つの実解の組 （ｕ，ｖ） を持つことが必要十分です。 ?@ を ?A に代入し、ｕ を消去すると、
　　　３２（ｖ−１）２＝−３ｖ２＋３＋ａ
　　　１２ｖ２−１８ｖ＋６−ａ＝０　…　?B
?B が異なる二つの実解を持つための同値条件として、
　　　Ｄ/４＝９２−１２（６−ａ）＝３（３＋４ａ）＞０
　　　ａ＞−３/４
と、答えが得られました。
No.15281 - 2011/10/02(Sun) 19:10:35
☆ Re: 微分の問題 / ヨッシー
あれ？マイナスが付いてましたか。
じゃ、私の記事は、サクッと無視してください。

失礼しました。
No.15282 - 2011/10/02(Sun) 19:13:13