[ 掲示板に戻る ]
記事No.15279に関するスレッドです
★ 線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
A(0,2)とB(2,-2)を結ぶ線分がy=x^2+ax+bとただ１つの共有点をもつような点(a,b)の存在範囲を図示せよ

範囲は一応少しでたんですけど、計算式（途中も）だけでいいので、お願いします

b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
ここまではでました
No.15265 - 2011/10/02(Sun) 00:29:21
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
問題を言い換えると
ＡＢを結ぶ直線　ｙ＝−２ｘ＋２　と　ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　を
連立させた、
　ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２＝０
が、０≦ｘ≦２ の範囲に重解を持つ、つまり、
　(ｘ−α)^2＝０　　（０≦α≦２)
と書けるということです。展開して、係数比較すると
　ａ＋２＝−２α
　ｂ−２＝α^2
αを消去して
　(ａ＋２)^2＝４ｂ−８
ただし、　−４≦ａ＋２＝−２α≦０　より
　−６≦ａ≦−２
ということになります。

別の見方をすると、ｙ＝ｘ^2 の接線で、傾きが−２（ＡＢの傾き）
になるのは　ｙ’＝２ｘ よりｘ＝−１ の時ですから、
　ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ　の軸　ｘ＝−ａ/２ より、ｘ座標で
小さいところで、ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ｂ とＡＢは接し、そのｘ座標−ａ/２−１　は、０以上２以下である。つまり、
　０≦−ａ/２−１≦２　より　−６≦ａ≦−２
しかも、ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２＝０ は重解を持つので、
　Ｄ＝(ａ＋２)^2−４ｂ＋８＝０
と、同じ結果になります。
No.15267 - 2011/10/02(Sun) 00:49:39
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
丁寧な回答ありがとうございます！！

一応僕の答えは
b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
(a+2)^2=4b-8 (-6<=a<=-2)
境界線を含まないのは
b=2(-4<=a<=-2),b=-2a-6(-6<=a<=-4)

になりました。こんな感じでしょうか？
No.15268 - 2011/10/02(Sun) 01:04:49
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
結局
　f(x)＝ｘ^2＋(ａ＋２)ｘ＋ｂ−２
だけで考えればいいでしょう。y=f(x) のグラフが、０≦ｘ≦２ の
範囲で、ｘ軸と１点だけ共有点を持つと考え、
頂点で接する場合（これは上で示したとおり）と、
f(0)≦0 かつ　f(2)≧0　または
f(0)≧0 かつ　f(2)≦0
で導けます。

b≧2,b≦-2a-6　または　b≦2,b≧-2a-6　だけで
a の範囲は特に書かなくても良いでしょう。（書いても良いです）
No.15271 - 2011/10/02(Sun) 06:51:10
☆ Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / angel
ぷるおさん:
> 一応僕の答えは
> b≧2,b≦-2a-6(a≦-4)
> b≦2,b≧-2a-6(a≧-4)
> (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2)
> 境界線を含まないのは
> b=2(-4≦a≦-2),b=-2a-6(-6≦a≦-4)

ほぼ正解なのですが、惜しい。
図示した時に添付したような感じで描けていればO.K.
つまり、点A,Bの部分は範囲に含まれます。点Cの部分は含まず、ですが。

ヨッシーさん:
> 頂点で接する場合（これは上で示したとおり）と、
> f(0)≦0 かつ　f(2)≧0　または
> f(0)≧0 かつ　f(2)≦0
> で導けます。
それだと、f(0)=f(2)=0 を含んでしまう ( 添付図中の点Cに相当 ) ので不適切です。

ちょっとパターンが多くなるのでいやらしいのですが、確実にいくならしっかり場合わけする方が良いでしょう。
不等号の≦や≧については、＜＞と=の部分を分離して。

そうすると、
　(1) f(0)＜0 かつ f(2)＞0
　または、(2) f(0)＞0 かつ f(2)＜0
　または、(3) f(0)=0 かつ f(2)＜0
　または、(4) f(0)=0 かつ f(2)＞0 かつ -(a+2)/2≦0
　または、(5) f(0)＜0 かつ f(2)=0
　または、(6) f(0)＞0 かつ f(2)=0 かつ -(a+2)/2≧2
ですね。
※(1),(2) をまとめて f(0)・f(2)＜0 としても良いです

ちなみに、-(a+2)/2 というのは y=f(x) の軸の位置になりまして、これに関する条件は≦や≧でなくて、=を省いた＜や＞でも良いです。
=を省くと図中A,Bの部分で差が出るのですが、いずれにしても (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2) に含まれるので問題ないです。
No.15279 - 2011/10/02(Sun) 18:51:19