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記事No.15279に関するスレッドです

線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
A(0,2)とB(2,-2)を結ぶ線分がy=x^2+ax+bとただ1つの共有点をもつような点(a,b)の存在範囲を図示せよ

範囲は一応少しでたんですけど、計算式(途中も)だけでいいので、お願いします

b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
ここまではでました

No.15265 - 2011/10/02(Sun) 00:29:21

Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
問題を言い換えると
ABを結ぶ直線 y=−2x+2 と y=x^2+ax+b を
連立させた、
 x^2+(a+2)x+b−2=0
が、0≦x≦2 の範囲に重解を持つ、つまり、
 (x−α)^2=0  (0≦α≦2)
と書けるということです。展開して、係数比較すると
 a+2=−2α
 b−2=α^2
αを消去して
 (a+2)^2=4b−8
ただし、 −4≦a+2=−2α≦0 より
 −6≦a≦−2
ということになります。

別の見方をすると、y=x^2 の接線で、傾きが−2(ABの傾き)
になるのは y’=2x よりx=−1 の時ですから、
 y=x^2+ax+b の軸 x=−a/2 より、x座標で
小さいところで、y=x^2+ax+b とABは接し、そのx座標−a/2−1 は、0以上2以下である。つまり、
 0≦−a/2−1≦2 より −6≦a≦−2
しかも、x^2+(a+2)x+b−2=0 は重解を持つので、
 D=(a+2)^2−4b+8=0
と、同じ結果になります。

No.15267 - 2011/10/02(Sun) 00:49:39

Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ぷるお
丁寧な回答ありがとうございます!!

一応僕の答えは
b>=2,b<=-2a-6(a<=-4)
b<=2,b>=-2a-6(a>=-4)
(a+2)^2=4b-8 (-6<=a<=-2)
境界線を含まないのは
b=2(-4<=a<=-2),b=-2a-6(-6<=a<=-4)

になりました。こんな感じでしょうか?

No.15268 - 2011/10/02(Sun) 01:04:49

Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / ヨッシー
結局
 f(x)=x^2+(a+2)x+b−2
だけで考えればいいでしょう。y=f(x) のグラフが、0≦x≦2 の
範囲で、x軸と1点だけ共有点を持つと考え、
頂点で接する場合(これは上で示したとおり)と、
f(0)≦0 かつ f(2)≧0 または
f(0)≧0 かつ f(2)≦0
で導けます。

b≧2,b≦-2a-6 または b≦2,b≧-2a-6 だけで
a の範囲は特に書かなくても良いでしょう。(書いても良いです)

No.15271 - 2011/10/02(Sun) 06:51:10

Re: 線分と放射線との存在範囲の問題です / angel
ぷるおさん:
> 一応僕の答えは
> b≧2,b≦-2a-6(a≦-4)
> b≦2,b≧-2a-6(a≧-4)
> (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2)
> 境界線を含まないのは
> b=2(-4≦a≦-2),b=-2a-6(-6≦a≦-4)


ほぼ正解なのですが、惜しい。
図示した時に添付したような感じで描けていればO.K.
つまり、点A,Bの部分は範囲に含まれます。点Cの部分は含まず、ですが。

ヨッシーさん:
> 頂点で接する場合(これは上で示したとおり)と、
> f(0)≦0 かつ f(2)≧0 または
> f(0)≧0 かつ f(2)≦0
> で導けます。

それだと、f(0)=f(2)=0 を含んでしまう ( 添付図中の点Cに相当 ) ので不適切です。

ちょっとパターンが多くなるのでいやらしいのですが、確実にいくならしっかり場合わけする方が良いでしょう。
不等号の≦や≧については、<>と=の部分を分離して。

そうすると、
 (1) f(0)<0 かつ f(2)>0
 または、(2) f(0)>0 かつ f(2)<0
 または、(3) f(0)=0 かつ f(2)<0
 または、(4) f(0)=0 かつ f(2)>0 かつ -(a+2)/2≦0
 または、(5) f(0)<0 かつ f(2)=0
 または、(6) f(0)>0 かつ f(2)=0 かつ -(a+2)/2≧2
ですね。
※(1),(2) をまとめて f(0)・f(2)<0 としても良いです

ちなみに、-(a+2)/2 というのは y=f(x) の軸の位置になりまして、これに関する条件は≦や≧でなくて、=を省いた<や>でも良いです。
=を省くと図中A,Bの部分で差が出るのですが、いずれにしても (a+2)^2=4b-8 (-6≦a≦-2) に含まれるので問題ないです。

No.15279 - 2011/10/02(Sun) 18:51:19