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記事No.15371に関するスレッドです
★ とりうる値の範囲の問題です。 / ぷるお
x,yがx>=0,y>=0,x^3+y^3=1をみたしながら変わるとき、
x+yがとりうる値の範囲を求めよ。

詳しいご説明のほう、よろしくお願いします！
No.15351 - 2011/10/06(Thu) 22:45:39
☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ヨッシー
どの程度の解答を想定されていますでしょうか？

例えば、x^2+y^2=1 だと、グラフから解けますよね？
同様に、x^3＋y^3=1 のグラフをイメージして解くので良ければ、
ｘ＝ｙ＝(1/2)^(1/3) のとき、ｘ＋ｙ＝2^(2/3)

ｘ＋ｙ＝ｋ とおいて x^3＋y^3=1 に代入して、ｘの２次式にする
方法は、まだ試していません。

ｙ＝(1-x^3)^(1/3) とおいて、
ｙ’＝・・・
ｙ”＝・・・
と２回微分して、０≦ｘ≦１ において、ｙ”＜０　(上に凸)であることと、
直線 ｘ＝ｙ に対して対称であることより、グラフの形を
特定して、直線ｙ＝−ｘ＋ｋ がグラフと接するところを見つける
ことから解く方法もあります。
No.15363 - 2011/10/07(Fri) 15:04:44
☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ぷるお
すいません、詳しい計算の方を
教えてほしいです
No.15364 - 2011/10/07(Fri) 17:42:21
☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ヨッシー
図のようなグラフのイメージになりますので、
ｘ＋ｙ＝ｋ　とすると、
ｙ＝−ｘ＋ｋ　・・・　傾き−１、切片ｋの直線
がグラフと共通点を持ちつつ、移動するとき
ｘ＝０，ｙ＝１　または　ｘ＝１，ｙ＝０ のとき
　ｋの最小値１
ｘ＝ｙ とｘ^3＋ｙ^2＝１ が交わる点(1/2^(1/3)，1/2^(1/3)）を
通るとき、つまり
　ｘ＝ｙ＝1/2^(1/3) のとき
　ｋの最大値　２・1/2^(1/3)＝2^(2/3)
以上より、　１≦ｘ＋ｙ≦2^(2/3)
No.15371 - 2011/10/08(Sat) 08:02:44
☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ヨッシー
(別解)
ｘ＋ｙ＝ｋ とおくと、ｙ＝ｋ−ｘ
これを ｘ^3＋ｙ^3＝１ に代入して、
　3kx^2−3k^2x＋k^3−１＝０
これが、0≦ｘ≦1 の範囲に解を持つようにｋの範囲を決めます。
ｋ＞０ は確実なので、２次方程式として考えます。

f(x)＝3kx^2−3k^2x＋k^3−１　とおきます。
パターン１
　f(0)＝k^3-1≧０　かつ　f(1)＝(k-1)^3≦０
パターン２
　f(0)＝k^3-1≦０　かつ　f(1)＝(k-1)^3≧０
パターン３
　Ｄ＝12k-3k^4≧０　かつ　軸：ｘ＝k/2 が　0≦k/2≦１
　かつ　f(0)＝k^3-1≧０　かつ　f(1)＝(k-1)^3≧０
のいずれかであれば、f(x)＝０は　0≦ｘ≦1 に解を持ちます。

パターン１より　ｋ≧１　かつ　ｋ≦１
パターン２より　ｋ≦１　かつ　ｋ≧１
パターン３より　ｋ≦４^(1/3) かつ　0≦ｋ≦2 かつ　ｋ≧１　かつ　ｋ≧１
以上より　１≦ｋ≦４^(1/3)＝2^(2/3)
No.15372 - 2011/10/08(Sat) 08:20:59
☆ Re: とりうる値の範囲の問題です。 / ぷるお
こんな分かりやすい説明
ありがとうございます！

すごくためになりました！
No.15378 - 2011/10/08(Sat) 14:05:25