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記事No.15375に関するスレッドです
★ 楕円です / ぷるお
楕円:x^2/9+y^2/4=1と直線L:y=x+k

(1)この楕円と直線Lが異なる２つの共有点をもつためにkがみたすべき条件を求めよ

(2)kは(1)の条件を満たすとし、さらにk=0ではないとする。(1)における２つの共有点をP,Qとし、Oを原点とするとき、三角形OPQの面積を最大にするkの値、およびそのときの面積を求めよ

(1)の答えは-√13<k<√13になりました。(2)のとき方が全然分かんないのでお願いします
No.15366 - 2011/10/08(Sat) 03:40:50
☆ Re: 楕円です / はにゃーん
楕円を円にするとときやすいんじゃないかな？
その時直線も同じように変換する。
たとえばx=3X, y=2Yとすると
X^2+Y^2=1, Y=(3/2)X+K
での問題となります。

円ならば(2)は簡単で、原点と(cosθ, sinθ), (cosθ, -sinθ)でできる三角形を考えたら最大値となる条件はすぐもとまります。

それを今回の問題に適用してください。
No.15368 - 2011/10/08(Sat) 04:53:04
☆ Re: 楕円です / ぷるお
すいません、少し分からないので
もう少し具体的な説明をお願いします。
行列まだ学校でやってないから不十分なんです
No.15373 - 2011/10/08(Sat) 09:41:52
☆ Re: 楕円です / ヨッシー
行列は使いませんよ。
ｘ＝３Ｘ、ｙ＝２Ｙ　を、楕円と、直線の式に代入すると
　Ｘ^2＋Ｙ^2＝１，　Ｙ＝(3/2)Ｘ＋Ｋ　ただし、Ｋ＝ｋ/２
と書けます。
これは、元のグラフを、ｘ軸方向に1/3倍、ｙ軸方向に1/2 倍して、
楕円を円にしたものです。縮小することによって、直線の傾きは
変わりますが、直線は直線であり、また、△ＯＰＱも、
（辺の長さはダメですが）面積は、ｘ軸方向に1/3倍、ｙ軸方向に1/2倍されて、
1/6 倍になっただけなので、この座標での、面積最大の時に、
元のグラフでも面積最大となります。

さて、Ｙ＝(3/2)Ｘ＋Ｋ は、下の図の左のように傾いていますが、
右の図のように、ｙ軸に平行な直線でまず考えて、
「原点からどのくらい離したときに面積最大か？」
を求め、それを傾き2/3 のときに適用します。

右の図において、Ｐ(cosθ, sinθ), Ｑ(cosθ, -sinθ)
とおけるので、ＰＱ＝2sinθ を底辺とすると、高さは
cosθ なので、面積は
　sinθcosθ＝(1/2)sin2θ
となり、θ＝45°、原点からの距離　1/√2 の時、面積最大となります。

これを、Ｙ＝(3/2)Ｘ＋Ｋ に適用すると、原点からの距離の公式より
　|Ｋ|/√{(3/2)^2＋1^2}＝1/√2
より、Ｋ＝±√26/4　となり、ｋ＝２Ｋ＝±√26/2
となります。
No.15375 - 2011/10/08(Sat) 10:31:41
☆ Re: 楕円です / ぷるお
いつも助けてもらって
本当にありがとうございます！

これからもお願いします！
No.15391 - 2011/10/09(Sun) 10:36:42