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記事No.15483に関するスレッドです
★ (No Subject) / non
直角二等辺三角形の各辺を鏡と仮定し、1つの頂点から光を発射した場合、23回目で 頂点に達するための角度は何通りあるか

全国数学選手権で優勝した高校生達が創作した問題なのですが、
全くわかりませんでした。
ぱっと見て数列と漸化式かな、と思ったのですが…。

よろしくお願いします。
No.15480 - 2011/10/15(Sat) 17:35:08
☆ 反射 / angel
図の1番目のように、反射した光の軌跡というのは、鏡の世界をタイルばりすることで見やすくすることができるのです。
実際は反射してジグザグですが、鏡の世界では一直線ですから。

そうすると、直角のところを出発して23回反射する光については、図の2番目(次の投稿)のように3通りが考えられます。
…対称形なので、半分しか調べていません。
あと、途中でなんらかの頂点に達してしまう場合 ( 図中の灰色の経路など )、反射の回数の数え方が良く分からなかったので除外しました。

こんな感じで考えると良いと思いますが、直角でない頂点を出発する経路は今回吟味していないです。ご自身で考えてみてください。
No.15483 - 2011/10/15(Sat) 21:44:51
☆ Re: 反射 / angel
図の2番目です。
ちなみに「23回反射」というのは、境界を23本横切っている、ということに対応します。
No.15484 - 2011/10/15(Sat) 21:46:28
☆ 訂正 / angel
すいません。
2番目の図を作る時に計算違いがありました。
上から1番目、3番目(灰色)の経路は境界を22回しかまたいでいません。こちらの方であれば、全経路とも23回境界をまたぎます。
No.15493 - 2011/10/16(Sun) 16:40:38