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記事No.15649に関するスレッドです
★ 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
画像の問題で、設問の通りに解いたのですが、ある解説書には、
「（３）の答えは（1/2だと）予想はつくでしょう。」
と書いてありました。確かに、偶数回移動したらAかCにしか
いないので、1/2と予想できるとしていると思うのですが、もう少し詳しく解説お願いします。そんなに単純に考えていいものかどうかが分からないのです。
出発点はAで、時計回りと反時計回りの確率が違うのも気になりますし、
無限大回移動したときを考えると、AとCは対等としてよいのでしょうか？
No.15649 - 2011/11/05(Sat) 00:13:46
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / ヨッシー
イメージとしてはこんな感じでしょうか？
１リットルの１００％ジュースの入った容器Ａと
水１リットルの入った容器Ｃがあります。
１回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出し、
それぞれ、別の容器に移します。
両者の濃さはだんだん近づいて行くでしょう。

一般に、a1＝0.5−α　(０＜α＜0.5) とすると、
　a2＝0.5＋2α^2
　a3＝0.5−4α^3
　a4＝0.5＋8α^4
で、証明は省略しますが、
　an＝0.5＋(-2α)^n/２
と表せ、　-1＜2α＜0 より　(-2α)^n→0　となり、
an は、1/2 に収束します。
No.15650 - 2011/11/05(Sat) 02:04:04
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
> イメージとしてはこんな感じでしょうか？
> １リットルの１００％ジュースの入った容器Ａと
> 水１リットルの入った容器Ｃがあります。
> １回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出し、
> それぞれ、別の容器に移します。
> 両者の濃さはだんだん近づいて行くでしょう。

レスありがとうございます。
が、何を何と対応させてたとえているのかがわかりません。
13/18はA→Cに移動する確率orC→Aに移動する確率に対応して
いることは分かりました。
もう少し詳しい説明をお願いします。
No.15653 - 2011/11/05(Sat) 10:31:47
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / ヨッシー
容器Ａの濃度が、ＱがＡにいる確率(an)
容器Ｃの濃度が、ＱがＣにいる確率(1-an)
を表します。
　a[n+1]＝(5/18)an＋(13/18)(1-an)
なので、Ａの濃度がan の状態から、Ａの容器に5/18残し、
Ｃの容器から(13/18)持ってきて混ぜると、Ａの濃度が
a[n+1] になることに対応します。
No.15654 - 2011/11/05(Sat) 13:01:11
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
> 容器Ａの濃度が、ＱがＡにいる確率(an)
> 容器Ｃの濃度が、ＱがＣにいる確率(1-an)
> を表します。
> 　a[n+1]＝(5/18)an＋(13/18)(1-an)
> なので、Ａの濃度がan の状態から、Ａの容器に5/18残し、
> Ｃの容器から(13/18)持ってきて混ぜると、Ａの濃度が
> a[n+1] になることに対応します。

ここは理解しました。しかし、

> １回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出し、
> それぞれ、別の容器に移します。

のところがまだ分かりません。１回の操作で、Ａ、Ｃからそれぞれ13/18リットルずつくみ出す
と考えられるのはなぜでしょうか？
A→CかC→Aの移動しか考えないのであれば納得できるのですが、
A→AやC→Cの移動は考えなくてもよいのでしょうか？
ここでつまづいてしまいました。
No.15655 - 2011/11/05(Sat) 14:14:04
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / ヨッシー
Ａの容器にある液体(濃度an)のうち
　13/18 はＣに移ります。Ａ→Ｃ
　5/18 は、Ａに残ります。　Ａ→Ａ
Ｃの容器にある液体(濃度1−an)のうち
　13/18 はＡに移ります。Ｃ→Ａ
　5/18 は、Ｃに残ります。　Ｃ→Ｃ
で、すべての移動を考慮しています。

　
No.15659 - 2011/11/05(Sat) 15:47:32
☆ Re: 確率漸化式　極限　感覚的に…？ / akasa
ありがとうございました。
No.15683 - 2011/11/06(Sun) 00:27:52