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記事No.15667に関するスレッドです
★ 三角関数の比較 / qwerty
三角関数と不等式の問題です。

不等式(tanx)^2≦(1+siny)/(1-siny)…?@について以下の答えよ。ただし、(-π/2)
(1)等式(tanx)^2-{(1+siny)/(1-siny)}={sin(2x-(π/2))-siny}/{(1-siny)(cosx)^2}
を示せ。

(2)不等式?@を満たす点（x,y）の存在範囲を図示せよ。


以上が問題です。(1)はわかりました。(2)は私は、x,yの存在範囲から、(1)の式の(1-siny)(cosx)^2>0となり、

sin(2x-(π/2))≦siny　としました。

次にxの範囲で場合分けをして、
(i) 0<{2x-(π/2)}<(π/2)

(ii)-π≦{2x-(π/2)}≦0

(iii)(-3π/2)<{2x-(π/2)}<-π　　としました。

(i),(ii)はともにわかりました。わからないのは(iii)です。
私は、結局sinの比較だから(i)と同じく{2x-(π/2)}≦yだと思ったのですが、答えは違うらしく、写真のようになってました。なぜ写真のように-2x-(π/2)とyを比較しなければいけないのでしょうか。教えてください。

長文失礼しました。
No.15667 - 2011/11/05(Sat) 17:51:56
☆ Re: 三角関数の比較 / ヨッシー
２行目は、
不等式(tanx)^2≦(1+siny)/(1-siny)…?@について以下の答えよ。ただし、(-π/2)＜x＜π/2 ,0＜y＜(π/2)とする。

と書かれています。
No.15669 - 2011/11/05(Sat) 18:27:45
☆ Re: 三角関数の比較 / qwerty
すいません。うち忘れました。x,yの範囲はそれぞれ

(-π/2)＜x＜π/2 ,0＜y＜(π/2)

です。

解説おねがいします。
No.15671 - 2011/11/05(Sat) 19:54:44
☆ Re: 三角関数の比較 / ヨッシー
例えば、
　-3π/2＜ｚ＜-π
の範囲にある角ｚと、
　０＜ｙ＜π/2
の範囲にある角ｙについて、
　sinｚ≦sinｙ
となる条件を考えます。
ｚは負の数、ｙは正の数なので、単純に　ｚ≦ｙ では判定できません。
同様に　π/2＜ｚ＜π であっても、ｚ≦ｙ　とはできません。
前者は「当たり前じゃん」、後者は「絶対ムリ」という式が出来るだけです。

０＜ｚ＜π/2 のときは、そのまま、ｚ≦ｙ とできます。

では、
　-3π/2＜ｚ＜-π
の範囲の角について、どうするかというと、
sinｚ＝sinｗ となる、０＜ｗ＜π/2 の範囲のｗに置き換えて、
ｙと比較します。
　例えば、-225°→45°、-240°→60°　という具合にです。
この変換は、-π とｚとの差がｗになるようにすればいいので、
　ｗ＝-π-ｚ
となります。つまり、-π-z≦ｙ となります。
ｚ＝2x-π/2 とおくと、
　-π-ｚ＝-2x-π/2
となるので、　-2x-π/2≦ｙ　ということになります。

図の、負の方向に 2x−π/2 となっているのがｚで、
正の方向に -2x−π/2 となっているのが　ｗに当たります。
No.15672 - 2011/11/05(Sat) 20:36:24
☆ Re: 三角関数の比較 / ヨッシー
ちなみに、うち忘れではなく、半角の"＜" を使ったために起こる現象です。
"＜" の次に、a, b, x など、特定の文字が続くと、表示制御用
（たとえば ＜ｂ＞は太字）と見なされます。
No.15673 - 2011/11/05(Sat) 20:46:43