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記事No.15854に関するスレッドです
★ (No Subject) / PUCA
xyz空間内の原点O（0, 0, 0)を中心とし、点A(0, 0, -1)を通る球面をSとする。Sの外側にある点P(x, y, z)に対し、OPを直径とする球面とSとの交わりとして得られる円を含む平面をLとする。点Pと点Aから平面Lへ下した垂線の足をそれぞれQ,Rとする。このとき、PQ≦ARであるような点Pの動く範囲Vを求め、Vの体積は10より小さいことを示せ。
No.15847 - 2011/11/13(Sun) 18:40:36
☆ Re: / ヨッシー
３点Ａ，Ｏ，Ｐ でこの２つの球を切った断面を考えます。
このとき改めて、ＯＡをｙ軸、Ａを(0,-1) とし、原点を通って
ｙ軸に垂直な直線をｘ軸とします。
Ｐの座標を(x,y) とすると、Ｐをｙ軸周りに回転させた円周が、
実際の空間座標上でのＰの存在範囲になります。

球面Ｓの断面は、ｘ^2＋ｙ^2＝１ であり、Ｐ(xp, yp) とすると、
ＯＰを直径とする球面の断面は
　ｘ^2−xpｘ＋ｙ^2−ypｙ＝０
であるので、平面Ｌの断面である直線は、
　xpｘ＋ypｙ−１＝０
となります。
この直線と点Ｐまでの距離ＰＱは
　ＰＱ＝|xp^2＋yp^2−１|/√(xp^2＋yp^2)
Ｐは球Ｓの外側にあり、xp^2＋yp^2＞１ なので、
　ＰＱ＝(xp^2＋yp^2−１)/√(xp^2＋yp^2)
一方、点Ａからの距離ＡＲは
　ＡＲ＝|−yp−１|/√(xp^2＋yp^2)
ＰＱ≦ＡＲ より
　xp^2＋yp^2−１≦|−yp−１|

yp≧−１ のとき、
　xp^2＋yp^2−１≦yp＋１
より
　xp^2＋(yp-1/2)^2≦9/4

yp＜−１ のとき
　xp^2＋yp^2−１≦−yp−１
より
　xp^2＋(yp+1/2)^2≦1/4
これより、Ｐの存在範囲を図示すると、下のようになります。

これよりＰの存在範囲は、点(0,0,1/2) 中心、半径3/2 の
球の内部で、
球Ｓの外部になります。
大きい球の体積は
　(4/3)π(3/2)^3＝9π/2
球Ｓの体積は4π/3 なので、
　9π/2−4π/3＝19π/6＜10
となります。
No.15854 - 2011/11/13(Sun) 20:44:52