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記事No.15887に関するスレッドです
★ (No Subject) / ponchan
円Oに内接する五角形ABCDEにおいて
AB=DE=1,BD=EA=3,∠BAE=120°である。
縁に内接する四角形の対角の和は180°であることが知られている。
（1）△ABEに面積を求めよ。
また対角線BE,BD,CEの長さと円Oの半径Ｒを求めよ。
（2）∠CED=θとおくとき,cosθの値とCDの長さを求めよ。
（3）五角形ABCDEの面積Tを求めよ。

解説をお願いします！！
No.15878 - 2011/11/17(Thu) 01:18:29
☆ Re: / ヨッシー
点Ｃ以外の４点ＡＢＤＥで出来る四角形ＡＢＤＥは、
平行四辺形であり、円に内接する平行四辺形は長方形なので、
∠ＢＡＥ＝120°にはなり得ません。

問題文の見直しをお願いします。
No.15880 - 2011/11/17(Thu) 05:34:44
☆ Re: (No Subject) / ponchan
ホントにすみません!

∠BAE=120゜は合っているのですが、B[C]=EA=3で間違っていました。

本当にすみませんでした!

改めてよろしくお願いします！
No.15881 - 2011/11/17(Thu) 10:31:42
☆ Re: / ヨッシー
(1)
△ＡＢＥの面積は
　(1/2)ＡＢ・ＡＥsin∠ＢＡＥ＝3√3/4
△ＡＢＥにおける余弦定理より
　ＢＥ^2＝ＡＢ^2＋ＡＥ^2−２ＡＢ・ＡＥcos∠ＢＡＥ＝１３
より　ＢＥ＝√13
△ＢＥＤにおいて、∠ＢＤＥ＝60°なので、余弦定理より
　ＢＥ^2＝ＢＤ^2＋ＤＥ^2−２ＢＤ・ＤＥcos∠ＢＤＥ
　１３＝ＢＤ^2＋１−ＢＤ
これを解いて　ＢＤ＝４
△ＢＣＥについても同様にして
　ＣＥ＝４

(2)対称性より
四角形ＡＢＣＥ、四角形ＡＢＤＥは等脚台形で、
ＢＤとＣＥの交点をＦとすると、四角形ＡＢＦＥは平行四辺形
となります。
　∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＥ＝120°
　∠ＢＣＥ＝∠ＡＥＣ＝∠ＡＢＤ＝60°
よって、
　∠ＣＥＤ＝∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＣ−∠ＡＢＤ＝60°
　（前半は円周角です）
よって、cosθ＝1/2
△ＣＤＥにおける余弦定理より
　ＣＤ^2＝ＣＥ^2＋ＤＥ^2−２ＣＥ・ＣＤcosθ
　　＝16＋１−４＝１３
よって　ＣＤ＝√13
(3)
(2)より、対称性より四角形ＢＣＤＥも等脚台形とわかります。
△ＡＢＥ＝3√3/4　に対して、△ＢＣＥはその4倍で、3√3
（高さ共通で、底辺が４倍）
△ＢＣＥ＝3√3 に対して、△ＣＤＥはその1/3倍で√3
(高さ共通で、底辺1/3倍）
以上より、五角形ＡＢＣＤＥの面積Ｔは、
　Ｔ＝3√3/4＋3√3＋√3＝19√3/4
No.15887 - 2011/11/17(Thu) 22:07:48
☆ Re: / ponchan
ありがとうございます！！！

理解しました！！
もう一度やってみたいと思います！
No.15892 - 2011/11/18(Fri) 00:06:59