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記事No.15909に関するスレッドです

定積分と不等式 / yamato
(1)a,bをa<bなる定数とする。関数f(x)は[a,b]で連続で,(a,b)でf''(x)<0が存在する。このとき次の不等式の証明せよ
∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]((f(b)-f(a))/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx

(2)次の不等式を証明せよ。但し,nは正の整数とする
1+√2+√3+...+√n<1/6√n(4n+3)

正直さっぱりです。どうやって解くのかと、解答をお願いしたいです。

No.15890 - 2011/11/17(Thu) 23:01:46

Re: 定積分と不等式 / はにゃーん
凸関数の性質を使って面積から不等式が得られるように思いますが、(1)の右辺の被積分関数は合っていますか?
(2)の右辺は1/(6√(n(4n+3)))ですか?

No.15896 - 2011/11/18(Fri) 19:34:30

Re: 定積分と不等式 / yamato
xを忘れていました
∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]((f(b)-f(a))x/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx

(2)は(1/6)・√n・(4n+3)です

No.15900 - 2011/11/18(Fri) 21:42:34

Re: 定積分と不等式 / angel
(1)に関しては、f''(x)>0 でないと問題として成立しないと思います。
その上で(1)は、a,b を定数として固定してしまうと行き詰ってしまうので、b だけ変数として考えると良いでしょう。
具体的には、
先に、
 ∫[a,b]((f(b)-f(a))x/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx
 = 1/2・(b-a)(f(b)+f(a))
 ※4点 (a,0),(a,f(a)),(b,f(b)),(b,0) からなる台形の面積
はサクっと計算しておいて、
 g(t)=1/2・(t-a)(f(t)+f(a))-∫[a,t]f(x)dx
不等式の右辺から左辺を引いて b を t に置き換えた形、これが t>a において g(t)>0 と持って行くわけです。
g(a)=0 かつ t>a において g'(t)>0 (単調増加) を元に説明したいところですが、先に g'(t)>0 を示す必要があります。ここで2階の導関数 g''(t) を使います。

(2) に関して、図形的にとらえてみましょう。
まず左辺の 1+√2+√3+… は、添付の図の赤い長方形群の面積の和に相当します。( それぞれ横幅が 1 になっていると思ってください )

No.15907 - 2011/11/19(Sat) 00:23:28

続き / angel
さて、左辺を上回る面積をどう作り出すか、ですが、
次の図のように、
・曲線とx軸で挟まれた部分の面積
・赤い三角形それぞれの面積
の和が、長方形の面積の和を上回っていることに着目します。

なんで上回っているかという説明には、(1) の結果が必要なわけですが。
まあ、でも計算としてはそれだけです。

No.15909 - 2011/11/19(Sat) 00:27:11