(1)a,bをa<bなる定数とする。関数f(x)は[a,b]で連続で,(a,b)でf''(x)<0が存在する。このとき次の不等式の証明せよ
∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]((f(b)-f(a))/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx
(2)次の不等式を証明せよ。但し,nは正の整数とする
1+√2+√3+...+√n<1/6√n(4n+3)
正直さっぱりです。どうやって解くのかと、解答をお願いしたいです。
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No.15890 - 2011/11/17(Thu) 23:01:46
| ☆ Re: 定積分と不等式 / angel | | | (1)に関しては、f''(x)＞0 でないと問題として成立しないと思います。
その上で(1)は、a,b を定数として固定してしまうと行き詰ってしまうので、b だけ変数として考えると良いでしょう。
具体的には、
先に、
∫[a,b]((f(b)-f(a))x/(b-a)+(bf(a)-af(b))/(b-a))dx
= 1/2・(b-a)(f(b)+f(a))
※4点 (a,0),(a,f(a)),(b,f(b)),(b,0) からなる台形の面積
はサクっと計算しておいて、
g(t)=1/2・(t-a)(f(t)+f(a))-∫[a,t]f(x)dx
不等式の右辺から左辺を引いて b を t に置き換えた形、これが t＞a において g(t)＞0 と持って行くわけです。
g(a)=0 かつ t＞a において g'(t)＞0 (単調増加) を元に説明したいところですが、先に g'(t)＞0 を示す必要があります。ここで2階の導関数 g''(t) を使います。
(2) に関して、図形的にとらえてみましょう。
まず左辺の 1+√2+√3+… は、添付の図の赤い長方形群の面積の和に相当します。( それぞれ横幅が 1 になっていると思ってください )
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No.15907 - 2011/11/19(Sat) 00:23:28 |
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