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記事No.16039に関するスレッドです
★ チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
天秤法の各頂点や交点に書く添え字（写真の〔〕内の数）からいっきに面積比が出せる面白い性質があるようです。
例えば
?僊PE：?傳CD=Bの添え字×Cの添え字×Dの添え字：Aの添え字×Pの添え字×Eの添え字
つまり?僊PE：?傳CD＝９・８・１５：６・２３・１４

という風に向かい合うように添え字の積を書けば面積比が出て、実際これは確かめたらちゃんと合ってました。
実際に?儕AB:?僊BC、?儕BC:?僊BC、?儕CA：?僊BC、?僊DE：?僊BC、?傳DF：?僊BC、?僂EF：?僊BC
は実験して確かに合いました。

しかし?僖EF:?僊BC＝６・９・８：１５・１４・１７
とはならず?僖EF:?僊BCの場合は使えないようです。

どういう時に使えてどういう時に使えないのか教えてください。

さらに?僊CF:?僥EPや三角形ADE：四角形ADFCや三角形DBE：５角形ADPFCなど三角形以外の面積比にも拡張できるのかどうかも教えてください。

知恵袋で質問しましたが正しいと思われる回答が出てこなかったので最後の頼みの綱として投稿させてもらいました。どうかよろしく御願いします。

天秤法についての参考URL
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1476403054
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1357193258

追記　すみません、写真のAE：ECは４：３の誤植でした。
No.16033 - 2011/11/30(Wed) 18:13:55
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
これらの添え字は、各辺ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦ上での
分割比なので、これらの線で出来た三角形の場合にのみ
成り立ちます。
No.16034 - 2011/11/30(Wed) 19:16:40
☆ (No Subject) / まるこ
回答本当にありがとうございます。

各辺（全ての辺？）ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦで出来た三角形の場合にのみ成り立つという事ですが
?僊DE＝?僊BC・(4/7)・（3/5)より?僊DE:?僊BC＝１２：３５
?僊DE:?僊BC＝６・９・８：６・１５・１４＝１２：３５
で一致するので各辺ならびにＣＤ，ＢＥ，ＡＦ上にないAEを使った三角形でも成り立ってしまう（反例が見つかってしまう）のですが。
No.16035 - 2011/12/01(Thu) 00:02:12
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
これらの添え字は、
　ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ，ＣＤ，ＢＥ，ＡＦ
上での分割比なので、これらの線を２本以上含む三角形の場合にのみ
成り立ちます。

でどうでしょう？

結局、ＤＥＦだけ例外です。

もともと、これらの添え字は辺の比によって、決められたものなので、
面積比較される２つの三角形が、下の図のように、
辺の比が面積の比に反映されるような変形で移せる場合に
このやり方が使えます。

もう少し詳しく調べると、△ＤＥＦの場合は、
２倍大きな比になることが分かります。
No.16036 - 2011/12/01(Thu) 06:39:05
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
回答ありがとうございます。

そういうことだったんですね！理解力が乏しくてすみませんでした。。

しつこくて申し訳ないですが、四角形ADFE：?儕ECや?僖PE:五角形ADPFCや四角形ADFE：五角形ADPFCなど三角形以外にも拡張できないのでしょうか？

あと、△ＤＥＦの場合は、
２倍大きな比になる理由もどうやって調べたのか迷惑でなければ聞いてもいいですか？

よろしく御願いします
No.16037 - 2011/12/01(Thu) 11:22:26
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
四角形、五角形で成り立つとは、考えにくいですね。

△ＤＥＦについては、
16033の記事の図のように ＡＢＣＤＥＦＰ があり、
Ａ，Ｂ，Ｃにそれぞれ、ａ，ｂ，ｃ が添え字として書かれているとします。
このときＤ(a+b)，Ｅ(c+a)，Ｆ(b+c)，Ｐ(a+b+c) となります。
同時に、
ＡＤ：ＤＢ＝ｂ：ａ、ＡＥ：ＥＣ＝ｃ：ａ、ＢＦ：ＦＣ＝ｃ：ｂ
であるので、
　△ＡＤＥ＝{b/(a+b)}{c/(c+a)}△ＡＢＣ
　△ＢＤＦ＝{a/(a+b)}{c/(b+c)}△ＡＢＣ
　△ＣＥＦ＝{a/(c+a)}{b/(b+c)}△ＡＢＣ
なので、
　△ＤＥＦ＝△ＡＢＣ−△ＡＤＥ−△ＢＤＦ−△ＣＥＦ
に、これらを代入して、ゴリゴリ計算すると、
　△ＤＥＦ＝{2abc/(a+b)(b+c)(c+a)}△ＡＢＣ
になります。これは、添字の積から得られる
　abc/(a+b)(b+c)(c+a)
の２倍となります。
No.16038 - 2011/12/01(Thu) 14:23:45
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
回答本当にありがとうございます。

恐縮ですが、追加でもう２点質問させてください。

?@この添え字の掛け算を線分比に使った時の適用条件
?A「ベクトルで始点を合わせたとき、残りのアルファベットが係数と一致する」の適用条件

を教えてください

それぞれ画像の?@、?Aと対応しています

どうかよろしく御願いします
No.16039 - 2011/12/01(Thu) 20:26:28
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
?@同一直線上にある２つまたは３つの線分に適用
?Aの前半
　三角形の頂点から伸びる３本の半直線上のベクトルで、
　三角形の辺上の２つのベクトルと、三角形上を横切る直線上のベクトルの関係式に適用
?Aの後半
　同一直線上、同一方向の２つまたは３つのベクトルに適用（線分比と同じ）
ただし、いずれも、始点終点は、アルファベットでい示された点であること。
No.16048 - 2011/12/02(Fri) 06:59:21
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
回答ありがとうございます。?Aの前半は
２３ベクトルAP＝・・の場合か
１７ベクトルAF=・・・
の場合しか使えない（・・・はベクトル９AB,８AC,１５AD,１４AEのいずれかの組み合わせ）ということでいいんでしょうか？

よろしくお願いします。
No.16106 - 2011/12/06(Tue) 18:40:23
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / まるこ
だれかおねがいします
No.16130 - 2011/12/09(Fri) 03:42:45
☆ Re: チェバ・メネラウスの定理で天秤法と呼ばれるものについての発展事項 / ヨッシー
ベクトルの表記は省略します。

２３ＡＰ＝９ＡＢ＋８ＡＣ
と書いてありますが、最初の考え(線分の両端の添え字を掛ける）で行くと、
　６・２３ＡＰ＝６・９ＡＢ＋６・８ＡＣ
ですよね？この考えで行くと
　Ｌ＝Ｍ＋Ｎ　の
Ｌには　６・１７ＡＦ、６・２３ＡＰ、１７・２３ＰＦ
Ｍには　６・９ＡＢ，６・１５ＡＤ，９・１５ＤＢ
Ｎには　６・８ＡＣ、６・１４ＡＥ，８・１４ＥＣ
のいずれを入れても成り立ちます。
また、ＢＥ，ＢＡ，ＢＣ 方向や ＣＤ，ＣＡ，ＣＢ方向の
ベクトルについても成り立ちます。

基本は　内分の公式による
　ＡＦ＝(９ＡＢ＋８ＡＣ)/１７
を変形した
　１７ＡＦ＝９ＡＢ＋８ＡＣ
です。これに、Ａの添え字を掛けた
　６・１７ＡＦ＝６・９ＡＢ＋６・８ＡＣ
あとは、線分比の時と同じ考えで、
　６・１７ＡＦ＝６・２３ＡＰ＝１７・２３ＰＦ
　６・９ＡＢ＝６・１５ＡＤ＝９・１５ＤＢ
　６・８ＡＣ＝６・１４ＡＥ＝８・１４ＥＣ
にそれぞれ、置き換えることが出来ます。
No.16131 - 2011/12/09(Fri) 06:28:02