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記事No.16220に関するスレッドです
★ 模試の問題　高１ / にゃんにゃん
放物線y=x^2をCとする。C上に異なる2点A(a,a^2),B(1,1)がある。ただしaは実数の定数である。
(1) a=-2のとき、∠APB=90°となるC上の点Pのx座標を求めよ。
これの答えは　-2,1 でいいですよね？
(2) A,Bを直径の両端とする円がCと異なる4点で交わっている。このとき、aの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、A,B以外の2つの交点を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

(2),(3)の解き方が全く分かりません…お願いします。
No.16211 - 2011/12/19(Mon) 22:32:33
☆ Re: 模試の問題　高１ / klmo
っt
No.16215 - 2011/12/19(Mon) 23:25:46
☆ Re: 模試の問題　高１ / ヨッシー
(1)x=-2,x=1 は、点Ａ，Ｂそのものなので違います。
　下の図の、Ｃ，Ｄのｘ座標を求めるのが、この問題です。
　A(-2,4)、B(1,1) を直径とする円の式は、
　　(x+2)(x-1)+(y-4)(y-1)＝0
　　x^2+x+y^2-5y+2=0
　これと、y=x^2 を連立させて
　　x^2+x+x^4-5x^2+2=0
　　x^4-4x^2+x+2=0
　x=-2,x=1 が解であることは明らかなので、(x+2)(x-1) をくくりだして、
　　(x+2)(x-1)(x^2-x-1)=0
　よって、Ｐのｘ座標は、x^2-x-1=0 の解である
　　x=(1±√5)/2
　となります。

(2)(1) と同様に考えて、
　A(a,a^2)、B(1,1) を直径とする円の式は、
　　(x-a)(x-1)+(y-a^2)(y-1)＝0
　　x^2-(a+1)x+y^2-(a^2+1)y+a^2+a=0
　これと、y=x^2 を連立させて
　　x^2-(a+1)x+x^4-(a^2+1)x^2+a^2+a=0
　　x^4-a^2x^2-(a+1)x+a^2+a=0
　x=a,x=1 が解であることは明らかなので、(x-a)(x-1) をくくりだして、
　　(x-a)(x-1){x^2+(a+1)x+a+1}=0
　x^2+(a+1)x+a+1=0 が x=a でも x=1 でもない異なる２実解を
　持つときのａの範囲を求めます。
　x=a を代入して、
　　2a^2+2a+1=0　より　a の実解はなし
　x=1 を代入して、
　　2a+3=0 より a=-3/2
　x^2+(a+1)x+a+1=0 の判別式より
　　(a+1)^2-4(a+1)＞0
　　(a+1)(a-3)＞0
　より　a＜-1 または　a＞3
　以上より　a＜-3/2 または -3/2＜ａ＜-1 または a＞3
　が求めるａの範囲となります。

(3)
　x^2+(a+1)x+a+1=0 の２解をα、β とすると、解と係数の関係より
　α＋β＝-a-1, αβ＝a+1
　奇跡を求める点をＱ(x,y) とすると、
　　ｘ＝(α＋β)/2、ｙ＝(α^2＋β^2)/2
　であるので、
　　ｘ＝(-a-1)/2、ｙ＝{(-a-1)^2−2(a+1)}/2
　a+1＝-2x であるので、
　　ｙ＝(4x^2＋4x)/2＝2x^2+2x
　定義域は、x＜-2 または 0＜x＜1/4 または 1/4＜x
No.16220 - 2011/12/20(Tue) 09:22:49