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記事No.16340に関するスレッドです
★ (No Subject) / DIE
もう一問お願いいたします。
f(t)=∫［t→０〜１］｜t^2-x^2｜dtのMINを求めよ

中の関数について二つの場合わけをし、より小さいものを適用して、-1/3としましたが、あっていますでしょうか？
回答がないため、正解不正解を知ることができません。
すみませんがよろしくお願いします。

また、０≦ーxの計算は、符号はそのままでしたでしょうか？０がくる場合は特殊な何かがあったような気がするのですがおぼろげです・・・
No.16327 - 2011/12/29(Thu) 18:43:45
☆ Re: / X
>>f(t)=∫［t→０〜１］｜t^2-x^2｜dt
ですが
f(x)=∫［t→０〜１］｜t^2-x^2｜dt
のタイプミスであると見て回答します。
>>-1/3としましたが
まずf(x)の式の積分により、少なくとも
f(x)＞0
となりますので、最小値は-1/3にはなりえません。
もう一度計算過程を見直しましょう。

＞＞また、０≦ーxの計算は、符号はそのままでしたでしょうか？
意味不明です。
No.16335 - 2011/12/29(Thu) 23:04:35
☆ Re: / angel
とりあえず、答は 1/4 です。
で、明らかに f(-x)=f(x) なので、x＜0 のことは考える必要はありません。
※最小値を求めるだけなので。もし最小値を取る時の x を求めよ、といわれたなら、x≧0 の範囲で f(1/2) が最小なのを調べてから、x=±1/2 を答にしてあげれば十分。

> 中の関数について二つの場合わけをし、
0≦x≦1 に対して、
　f(x)=∫[0,1] |t^2-x^2| dt
　= ∫[0,x] (x^2-t^2)dt + ∫[x,1] (t^2-x^2) dt
ということでしょうか? それであれば問題ありません。
なお、x＞1 の範囲を考える必要がないのも良いでしょうか…?

なおグラフとして考えると、f(x)というのは添付の図の斜線部の面積(合計)に相当します。
No.16340 - 2011/12/30(Fri) 02:40:42
☆ Re: / angel
ちなみに、f(1/2)が最小であることは、f(x)を計算しなくても図形的に分かります。( 解答には書けませんが )
まず、f(x) の表す数値が上の図の面積に相当するというのを念頭において下さい。

さて、そこで下の図を見てください。
1/2より大きいxの値を少しだけ小さくしたら、面積( f(x)の値 ) はどうなるか、を表すものです。
※結構たくさん変化させているように見えますが、ほんのわずかだけxを変化させていると考えてください。
青斜線の増加分よりも、赤斜線の減少分の方が大きいですよね。つまり、x＞1/2 の場合は x を減らした方が、f(x) も小さくなるということ。

逆に、x＜1/2 の場合は x を増やした方が f(x) は小さくなります。同じように図を描いて確かめてみてください。

ということで、f(x)が最小となるのは f(1/2) しかない、と分かります。
No.16341 - 2011/12/30(Fri) 02:56:38
☆ Re: / DIE
ご丁寧な解説有難うございます。
しかしなんだかわけがわからなくなっています・・・

そもそも、今tの積分より、f(t)を考えているのではないのでしょうか・・・？
えーっとこのように場合わけをし考えたのですが・・・。
No.16371 - 2012/01/01(Sun) 18:25:56
☆ Re: / angel
えーと、その図は多分間違いです。

私が載せた図は、軸がf(t)になっているのは間違いでした。

で、ちょっと描き直しました。下の3通りどれで考えても良いですが、私の第1感は一番左だったということで。問題文に沿って素直に描くなら一番右ですね。
No.16392 - 2012/01/03(Tue) 17:10:07
☆ Re: / DIE
では右の図を素直に使いたいのですが、そうするとこのような二つの場合わけになりませんでしょうか？？？
間違いありますでしょうか？？？
No.16545 - 2012/01/10(Tue) 02:46:44