高校数学 早稲田1989年
座標平面において、原点を中心とする半径1の円をAとし、点(4,0)を中心とする半径3の円をBとする。
点Pが円Aの周上を動き、点Qが円Bの周上を動く。このとき、線分PQの中点Ｍの動き得る範囲を図示し、その面積を求めよ。
(答)点(4,0)をO'とする。まず点Qを固定し点Ｐだけ動かすと、点Mは、点Qを中心に円Aを1/2に相似縮小した円Cを描く。
その中心をRとすると、RはOQの中点である。
次に点Qを動かすと、点Ｒは、原点Oを中心に円Bを1/2に相似縮小した円Dを描くから、結局点Mの描く領域は(省略)
その面積はπ×2^2-π×1^2=3π
画像は自分の書いた図です。(汚くてすみません)
以下は自分は自分の疑問点や考え方を述べたものです。
数学は苦手なので色々間違っている所があると思いますがお許しください。
まず、図のように点Qをとりました。そしてこの点Qから円A上に直線を引いていきますと、円A上のPの動きが分かります。
すると、円Aに接する2つの接線(図の∠みたいなやつです）の中に新たに円が作れるのが分かります。
これが図もにある円Cです。正直いって僕は答をみて初めて円Cが作られることが分かりました。
解答には言及されていませんが、この円Cはおそらく線分PQの中点Mの軌跡だと思います。
点をたどっていくと確かに円っぽくなるのですがちゃんとした根拠がみいだせません。
たしか、数学Aで共通接線の性質というのをやった記憶があるのですがそれと同じなんでしょうか？
この共通接線の性質が図の円Aと円Bにも適用できるならば円の外部の点Qと円Cの中心R（とします）と円Aの中心Oは一直線上にありますよね。
ここで、円Cの中心の点R、円Aの中心の点Oからそれぞれ図の上部の接線に下した点をC,Dとするならば
線分比より、QC:QD=QR:QO=CR:DO=1:2だからここでやっと、答にある「RはOQの中点」「円Aを1/2に縮小したものが円C」の意味が分かりました。
ですが、この後どうすればいいのか全く分かりません。
はじめに固定した点Qを自由に動かしたとき、点Rはどのように動くのでしょうか。
また、答にある「点Qを中心に〜」「原点Oを中心に〜」の言葉の意味が全く理解できません。
友達は皆この問題を簡単に解けるのに対して僕は何時間悩んでも解けません。
解答を読んでも理解できない自分の理解力の無さに呆れてしまいます。
どうしたらこのような問題を理解して解く事ができるようになるのでしょうか。
試験本番で出されたら0点間違いなしです。
誰か分かる方教えてください。お願いいたします。
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No.16374 - 2012/01/01(Sun) 21:10:51
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