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記事No.16523に関するスレッドです
★ 高校数学 / ルイス
aを実数の定数としてx,yに関する不等式
?@：y>-x^2+3(a-1)x+a+1かつy<2x^2+(a+3)x+4を考える。
(1)任意のxに対して、それぞれ適当なyをとれば?@が成り立つためのaの値の範囲を求めよ。

答：f(x)=-x^2+3(a-1)x+a+1　g(x)=2x^2+(a+3)x+4
とおくと、条件?@はf(x)<y<g(x)・・・?Aとかける。
【さて、xを１つ与えた時に、?Aを満たすyがとれる条件は
f(x)<g(x)・・・?Bが成立することである。】
したがって?Bが任意の実数xで成立する条件を求めればよい。
?Bよりg(x)-f(x)>0
すなわち、3x^2+(-2a+6)x-a+3>0
この不等式がすべての実数xで成立する条件は、
判別式より0<a<3

とあるのですが、【】の部分がわかりません。
また、どうして判別式を使って答がわかるんでしょうか？
教えてください。お願いします。
No.16505 - 2012/01/08(Sun) 19:54:26
☆ Re: 高校数学 / X
丸に数字は環境によっては文字化けしますので次回からは
使わないようにしましょう。

＞＞【】の部分がわかりません。
ある実数xに対して
f(x)＞g(x)
が成立すると仮定すると、問題の条件が成立しません。
ある実数xに対して
f(x)=g(x)
が成立すると仮定しても同様です。
よって背理法により【】の部分のようになります。

＞＞どうして判別式を使って答がわかるんでしょうか？
教科書の二次不等式の項目で、解が任意の実数となる
ような二次不等式を調べてみましょう。
No.16515 - 2012/01/08(Sun) 21:25:58
☆ Re: 高校数学 / ルイス
回答ありがとうございます。
文字化けする数字に関しては以後気を付けます><
以下補足です。
f(x)<y<g(x)という式の意味についてなんですが、
たとえばy=5のとき、f(x)<5<g(x)となり直線y=5を境にしてその上下にg(x)とf(x)があるように見えるのですが、なんだか違うような気もします。
一体どういうことをf(x)<y<g(x)は意味しているのでしょうか？
よかったらもう少しだけ付き合ってください；お願いしますm(_ _)m
No.16519 - 2012/01/08(Sun) 23:15:03
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー
下の図において、
青が　y＝-x^2+3(a-1)x+a+1
赤が　y＝2x^2+(a+3)x+4
とします。

左の図のように、両者が交わっていると、図に示したｘの値において、
　「青より上　かつ　赤より下」
というｙの値は存在しません。
（３より大きく、２より小さい　と言っているようなものです）

右の図のように、両者が離れていると、
　「青より上　かつ　赤より下」
というｙの値をなにがしか決めることができます。

「それぞれ適当なyをとれば」というのは、ｘを先に決めて、
それに従って、ｙを後で決めれば良いのであって、
ｙをｙ＝５のように先に決めるのではないのです。
「２より大きく、３より小さい数はあるか？」と聞かれて
「５はダメだ」と言っているようなものです。
No.16523 - 2012/01/09(Mon) 09:46:14